Máy Tính Hình Con Nhộng: Thể Tích, Diện Tích

Ba đại lượng của hình con nhộng

Hình con nhộng (còn gọi là viên nang) là một hình trụ bán kính $r$, phần thân THẲNG dài $a$, được bịt kín hai đầu bằng một hình bán cầu cùng bán kính $r$. Biết $r$ và $a$, mọi đại lượng khác suy ra trực tiếp:

$V = \pi r^2\left(\frac{4}{3}r + a\right) \qquad S = 2\pi r(2r + a) \qquad C = 2\pi r$

Thể tích là hai chỏm bán cầu ghép lại thành một hình cầu đầy đủ, $\frac{4}{3}\pi r^3$, cộng thêm phần thân hình trụ $\pi r^2 a$. Diện tích mặt cũng tương tự: mặt cong của hai chỏm ghép lại thành diện tích mặt cầu đầy đủ $4\pi r^2$, cộng thêm diện tích xung quanh của hình trụ $2\pi r a$.

Ví dụ: r = 3, a = 10

$V = \pi(9)(4 + 10) = 126\pi \approx 395.8407 \qquad S = 2\pi(3)(6 + 10) = 96\pi \approx 301.5929 \qquad C = 2\pi(3) \approx 18.8496$

Vì $r = 3$ và $a = 10$ đều là số nguyên ở đây, thể tích và diện tích mặt đều có dạng CHÍNH XÁC theo $\pi$ ($126\pi$, $96\pi$) bên cạnh giá trị thập phân gần đúng.

Ví dụ: a = 0 (trường hợp biên — hình cầu)

$V = \pi(9)\left(4 + 0\right) = 36\pi \approx 113.0973 \qquad S = 2\pi(3)(6 + 0) = 36\pi \approx 113.0973$

Đặt chiều dài thân $a = 0$ sẽ làm biến mất hoàn toàn phần thân hình trụ ở giữa, chỉ còn lại hai chỏm bán cầu chạm khít vào nhau tại một đường nối — chính là một hình cầu trơn bán kính $r = 3$. Cả công thức thể tích lẫn diện tích mặt đều rút gọn đúng về công thức riêng của hình cầu, $\frac{4}{3}\pi r^3$ và $4\pi r^2$, và ở đây cả hai tình cờ ra cùng một hệ số ($36\pi$) chỉ vì $r = 3$ khiến $\frac{4}{3}r = 4 = 2r - 2$; đó là sự trùng hợp riêng của bán kính này, không phải quy luật chung.

Những lỗi thường gặp

• Nhầm a là chiều dài toàn bộ của con nhộng. a chỉ là phần thân thẳng — chiều dài toàn bộ thực sự là $a + 2r$, dài hơn một bán kính ở mỗi đầu cho phần chỏm.
• Bỏ sót phần chỏm hoặc phần thân. Thể tích LUÔN LUÔN là hai chỏm cầu ($\frac{4}{3}\pi r^3$) cộng thân trụ ($\pi r^2 a$) — không bao giờ chỉ một phần.
• Dùng nhầm hệ số thể tích cho phần chỏm. Hai chỏm cộng lại cho ra $\frac{4}{3}\pi r^3$ (một hình cầu đầy đủ), không phải $\frac{2}{3}\pi r^3$ (đó chỉ là MỘT chỏm bán cầu).

Ứng dụng thực tế

• Viên thuốc con nhộng: hình dạng đặt tên cho công cụ này — một thân hình trụ với hai đầu bo tròn, được thiết kế để dễ nuốt hơn trong khi vẫn chứa được nhiều thuốc hơn một viên hình cầu cùng độ rộng.
• Bồn chứa và bình chịu áp lực: bình gas, bình khí nén, và một số thân tàu ngầm dùng đầu bo tròn (bán cầu hoặc con nhộng) thay vì đầu phẳng, vì mặt vòm chịu áp suất bên trong tốt hơn nhiều so với một mặt phẳng cùng bán kính.
• Nền tảng cho các hình khác: hình con nhộng chính là một hình cầu (hai chỏm) cộng với một hình trụ (phần thân), và là phiên bản 3D của hình Stadium phẳng 2D.

Hình con nhộng được xác định chỉ bởi hai đại lượng, bán kính $r$ và chiều dài thân THẲNG $a$ — mọi công thức ở đây đều là số hạng của hai chỏm cầu ($\frac{4}{3}\pi r^3$, $4\pi r^2$) cộng với số hạng của thân trụ ($\pi r^2 a$, $2\pi r a$), cộng lại đúng một lần, với a = 0 là trường hợp biên rõ ràng khi phần thân biến mất và chỉ còn lại hình cầu.