Máy Tính Hình Sân Vận Động: Diện Tích và Chu Vi

Hình sân vận động là gì?

Lấy một hình tròn, cắt đôi qua tâm, tách hai nửa ra xa nhau. Chèn một hình chữ nhật chiều dài $a$ vào giữa, với chiều cao bằng đúng đường kính hình tròn. Kết quả — đường chạy điền kinh, viên thuốc con nhộng, làn bơi — được gọi là hình sân vận động (hay hình viên thuốc, hình con nhộng).

$A = \pi r^2 + 2ra \qquad P = 2(\pi r + a)$

Vì sao công thức này đúng?

Diện tích đến từ hai phần: hai nửa hình tròn ghép lại thành một hình tròn đầy đủ, đóng góp $\pi r^2$; phần hình chữ nhật ở giữa đóng góp $2r \times a$ (chiều cao $2r$, chiều rộng $a$). Cộng lại ta có $A = \pi r^2 + 2ra$.

Chu vi cũng đến từ hai phần: hai cung nửa tròn ghép lại thành một chu vi tròn đầy đủ, $2\pi r$; hai cạnh thẳng mỗi cạnh dài $a$, tổng cộng $2a$. Cộng lại ta có $P = 2\pi r + 2a = 2(\pi r + a)$.

Ví dụ: bán kính r = 5, chiều dài a = 10

$A = \pi(5^2) + 2(5)(10) = 25\pi + 100 \approx 178.5398$ $P = 2(\pi \cdot 5 + 10) = 2(5\pi + 10) \approx 51.4159$

Vì cả bán kính lẫn chiều dài ở đây đều là số chính xác, diện tích cũng có dạng CHÍNH XÁC theo $\pi$ ($25\pi + 100$) bên cạnh giá trị thập phân gần đúng.

Giải theo chiều ngược lại

Biết bán kính cộng với diện tích hoặc chu vi, công cụ này sẽ giải ra chiều dài hình chữ nhật trước, rồi suy ra phần còn lại.

Ví dụ ngược: bán kính r = 5, diện tích A = 178.5398

Đảo ngược công thức diện tích cho $a = (178.5398 - \pi(25))/10 = (178.5398 - 78.5398)/10 = 10$. Chu vi suy ra là $P = 2(\pi(5) + 10) \approx 51.4159$.

Những lỗi thường gặp

• Quên hẳn phần hình chữ nhật. Chỉ tính $\pi r^2$ (phần hình tròn) mà bỏ qua $2ra$ sẽ làm diện tích bị tính thiếu — hình sân vận động luôn lớn hơn hình tròn tạo ra hai đầu tròn của nó (trừ khi $a = 0$).
• Dùng $r$ thay vì $2r$ cho chiều cao hình chữ nhật. Hình chữ nhật trải dài hết đường kính của hai đầu tròn, không chỉ bán kính.
• Nhầm chu vi với diện tích. Chu vi là một chiều dài ($2\pi r + 2a$); diện tích là một mặt phẳng ($\pi r^2 + 2ra$) — chúng không cùng đơn vị.

Ứng dụng thực tế

• Đường chạy điền kinh, sân vận động: đường chạy oval 400m kinh điển chính là hình sân vận động — đó cũng là nguồn gốc tên gọi.
• Viên thuốc con nhộng: viên thuốc là phiên bản 3D (một khối tròn xoay từ hình sân vận động) được xây từ cùng cấu trúc hai phần này.
• Làn bơi, mặt bàn bo tròn: bất kỳ hình chữ nhật nào có hai đầu ngắn được bo tròn hoàn toàn bằng nửa hình tròn đều là hình sân vận động.

Hình sân vận động là hình đơn giản nhất được xây từ hai hình khác: biết bán kính hình tròn và chiều dài hình chữ nhật, mọi đại lượng khác — diện tích, chu vi, hay tính ngược từ một trong hai — đều suy ra trực tiếp.