Máy Tính Đa Giác Đều: Cạnh, Diện Tích, Góc

Bộ 5 công thức của đa giác đều

Đa giác đều có n cạnh bằng nhau và n góc trong bằng nhau. Biết cạnh $a$, mọi đại lượng khác suy ra từ các công thức theo $\pi/n$:

$P = na \qquad A = \frac{1}{4}na^2\cot\frac{\pi}{n} = nr^2\tan\frac{\pi}{n}$

$r = \frac{a}{2}\cot\frac{\pi}{n} = R\cos\frac{\pi}{n} \qquad R = \frac{a}{2}\csc\frac{\pi}{n}$

$x = \frac{(n-2)\times 180°}{n} \qquad y = \frac{360°}{n}$

Trong đó $r$ là bán kính nội tiếp (apothem, từ tâm đến điểm giữa một cạnh) và $R$ là bán kính ngoại tiếp (từ tâm đến một đỉnh) — $r$ luôn ngắn hơn $R$ trên cùng một đa giác.

Giải từ bất kỳ đại lượng nào đã biết

Công cụ này cũng tính ngược: nhập n cùng MỘT trong năm đại lượng cạnh/bán kính nội tiếp/bán kính ngoại tiếp/chu vi/diện tích, công cụ sẽ giải ra cạnh trước rồi suy ra phần còn lại.

Góc trong và góc ngoài không bao giờ cần "giải" — chúng chỉ phụ thuộc vào n, không phụ thuộc kích thước đa giác.

Ví dụ đầy đủ: ngũ giác đều (n=5), cạnh a=5

$P = 5 \times 5 = 25$ $r = \frac{5}{2}\cot 36° \approx 3.4410 \qquad R = \frac{5}{2}\csc 36° \approx 4.2533$ $A = \frac{1}{4}(5)(25)\cot 36° \approx 43.0119$ $x = \frac{3 \times 180°}{5} = 108° \qquad y = \frac{360°}{5} = 72°$

Ví dụ: lục giác đều (n=6), cạnh a=6

$A = \frac{1}{4}(6)(36)\cot 30° \approx 93.5307 \qquad x = 120° \qquad y = 60°$

Góc trong 120° của lục giác đều là con số nên nhớ — đây là lý do gạch lục giác lát khít nền nhà không hở, khác với ngũ giác.

Bảng góc theo số cạnh

Những lỗi thường gặp

• Nhầm bán kính nội tiếp với bán kính ngoại tiếp. Bán kính nội tiếp (r) chạm điểm giữa cạnh; bán kính ngoại tiếp (R) chạm đỉnh — R luôn dài hơn r.
• Dùng độ thay vì radian trong cot(π/n). π/n là một góc tính bằng radian dù trông giống một phân số của 180°.
• Nhầm góc trong với góc ngoài. Góc trong tăng dần về gần 180° khi n tăng; góc ngoài giảm dần về gần 0°.

Ứng dụng thực tế

• Lát nền, lát gạch. Chỉ tam giác đều, hình vuông và lục giác đều mới lát kín mặt phẳng không hở — vì góc trong của chúng (60°, 90°, 120°) chia hết cho 360°.
• Ốc vít, biển báo. Bu-lông và đai ốc lục giác chính là lục giác đều; biển báo STOP là bát giác đều.
• Kết cấu tổ ong. Ong xây tổ hình lục giác vì lục giác đều bao được diện tích lớn nhất với chu vi ít nhất trong các hình lát khít mặt phẳng.

Tam giác đều (n=3) và hình vuông (n=4) chỉ là hai trường hợp nhỏ nhất của cùng bộ công thức đa giác đều dùng ở đây — từ ngũ giác đến đa giác 1000 cạnh đều theo đúng một quy luật $\pi/n$.