CalConverters

Máy Tính Giải Tam Giác Tổng Quát (SSS–AAA)

Giải bất kỳ tam giác nào từ 3 dữ kiện đã biết — SSS, SAS, ASA, AAS, SSA, hoặc AAA — cho ra đủ cạnh, góc, diện tích, chu vi và bán kính.

Loading calculator…

Sáu trường hợp của tam giác

Một tam giác được xác định hoàn toàn bởi 3 trong 6 đại lượng của nó (ba cạnh a, b, c; ba góc A, B, C, mỗi góc đối diện cạnh cùng chữ cái) — miễn là 3 dữ kiện đó không phải toàn là góc. Công cụ này nhận diện trường hợp dữ kiện của bạn và chọn đúng định lý:

Trường hợpBiếtCách giải
SSSBa cạnhĐịnh lý cosin tìm mọi góc
SASHai cạnh + góc xen giữaĐịnh lý cosin tìm cạnh thứ ba, rồi tìm các góc còn lại
ASAHai góc + cạnh xen giữaTổng góc tìm góc thứ ba, rồi định lý sin tìm các cạnh
AASHai góc + một cạnh không xen giữaGiống ASA — cách tính không phụ thuộc cạnh nào được cho
SSAHai cạnh + góc không xen giữaĐịnh lý sin — ca mơ hồ: 0, 1, hoặc 2 tam giác
AAABa gócTổng góc chỉ xác nhận hình dạng — không có kích thước duy nhất
Mẹo: SSS và SAS không bao giờ cho sẵn một cặp cạnh-góc đối diện đầy đủ, nên định lý sin không thể bắt đầu — đó chính là lúc cần dùng định lý cosin.

Giải SSS — ba cạnh

Ví dụ: a = 7, b = 8, c = 9. Định lý cosin cho mọi góc: A=cos⁡−1 ⁣(82+92−722⋅8⋅9)≈48.19°A = \cos^{-1}\!\left(\frac{8^2+9^2-7^2}{2\cdot8\cdot9}\right) \approx 48.19°, rồi B≈58.41°B \approx 58.41° và C≈73.40°C \approx 73.40° (tổng bằng 180°). Nửa chu vi s=12s=12, nên công thức Heron cho diện tích K=12⋅5⋅4⋅3=720≈26.83K=\sqrt{12\cdot5\cdot4\cdot3}=\sqrt{720}\approx26.83, bán kính nội tiếp r=K/s≈2.24r=K/s\approx2.24, và bán kính ngoại tiếp R=abc4K≈4.70R=\frac{abc}{4K}\approx4.70.

Giải SAS — hai cạnh + góc xen giữa

Ví dụ: b = 8, c = 9, góc A = 48.19° (góc giữa b và c). Định lý cosin giải trực tiếp cạnh thứ ba: a=b2+c2−2bccos⁡A≈7a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}\approx7 — chính là tam giác 7-8-9 ở trên, tính ngược lại.

Giải ASA / AAS — hai góc + một cạnh

Ví dụ: A = 40°, B = 60°, cạnh a = 10 (đối diện A — trường hợp AAS). Góc thứ ba là C=180°−40°−60°=80°C=180°-40°-60°=80°, rồi tỉ số định lý sin a/sin⁡Aa/\sin A giải phần còn lại: b=asin⁡Bsin⁡A≈13.47b=\frac{a\sin B}{\sin A}\approx13.47, c≈15.32c\approx15.32.

Giải SSA — ca mơ hồ

Ví dụ: a = 6, b = 8, góc A = 40° (đối diện cạnh a, không xen giữa a và b). Giải sin⁡B=bsin⁡Aa≈0.856\sin B=\frac{b\sin A}{a}\approx0.856 cho ra hai góc hợp lệ, B≈58.99°B\approx58.99° và B≈121.01°B\approx121.01° — cả hai đều giữ A+BA+B nhỏ hơn 180°, nên cả hai đều khép kín thành hai tam giác thực sự khác nhau.

Mẹo: Chỉ cần đổi số liệu, ca mơ hồ có thể đổi hoàn toàn: a = 15, b = 10 cho ĐÚNG MỘT tam giác (vì a ≥ b), trong khi a = 3, b = 10 lại KHÔNG cho tam giác nào (tỉ số sin sẽ vượt quá 1).

AAA — chỉ có góc, không có kích thước duy nhất

Ví dụ: A = B = C = 60°. Các góc cộng lại bằng 180°, xác nhận HÌNH DẠNG đều, nhưng không có cạnh nào được cho nên không thể xác định kích thước — mọi bản phóng to/thu nhỏ của hình dạng đó (cạnh 1, cạnh 100, cạnh bất kỳ) đều có chung các góc này.

Những lỗi thường gặp

  • Dùng định lý sin cho SSS/SAS. Cả hai trường hợp đều không có sẵn cặp cạnh-góc đối diện để bắt đầu tỉ số sin — hãy dùng định lý cosin trước.
  • Bỏ sót nghiệm thứ hai của SSA. Ca mơ hồ sẽ âm thầm bỏ qua một tam giác hợp lệ về mặt toán học nếu chỉ kiểm tra một góc ứng viên.
  • Quên quy tắc tổng góc. ASA/AAS/AAA đều cần lấy 180°180° trừ các góc đã biết để tìm góc cuối cùng trước khi giải tiếp.

Ứng dụng thực tế

Trắc địa, hàng hải, và kỹ thuật kết cấu đều quy về bài toán "giải tam giác từ dữ kiện một phần" — công cụ này là phiên bản tổng quát cho mọi trường hợp. Để đi sâu vào từng trường hợp riêng, xem công cụ định lý cosin (SSS/SAS) và định lý sin (ASA/AAS/SSA), hoặc các công cụ đặc biệt hơn như tam giác đều và tam giác vuông khi đã biết thêm tính đối xứng.

Câu hỏi thường gặp

Máy tính giải tam giác tổng quát là gì?
Công cụ giải bất kỳ tam giác nào bằng cách kết hợp quy tắc tổng góc (180°), định lý cosin và định lý sin — bao trùm cả sáu trường hợp kinh điển: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA, AAA. Chỉ cần chọn ba trong sáu đại lượng đã biết (ba cạnh, ba góc), công cụ sẽ giải phần còn lại.
Mỗi trường hợp dùng định lý nào?
SSS và SAS dùng định lý cosin (vì không có sẵn cặp cạnh-góc đối diện). ASA, AAS, SSA dùng định lý sin sau khi quy tắc tổng góc tìm ra góc thứ ba (hoặc, với SSA, sau khi tìm được góc mơ hồ). AAA chỉ dùng quy tắc tổng góc — không có cạnh nào để giải.
ASA và AAS khác nhau ở đâu?
Cả hai đều cho biết hai góc cộng một cạnh, và giải giống hệt nhau vì biết hai góc nghĩa là biết cả ba (180° trừ tổng của chúng). Cạnh của ASA nằm GIỮA hai góc đã biết; cạnh của AAS đối diện một trong hai góc đó. Sự khác biệt này không ảnh hưởng đến cách tính.
Ca mơ hồ của SSA là gì?
Khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa, có thể có không, một, hoặc hai tam giác hợp lệ — vì sin của một góc θ bằng sin của góc bù 180°−θ. Công cụ này kiểm tra cả hai góc ứng viên và báo mọi tam giác thực sự khép kín đúng 180°.
Vì sao AAA chỉ cho ra góc, không ra tam giác đầy đủ?
Ba góc chỉ cố định HÌNH DẠNG của tam giác chứ không cố định KÍCH THƯỚC — vô số tam giác đồng dạng (phóng to/thu nhỏ của nhau) đều có chung ba góc đó. Cần biết ít nhất một cạnh mới xác định được kích thước, diện tích, hay chu vi thực sự.
Vì sao có dữ kiện lại cho ra 'không có tam giác' thay vì đáp án?
Hai lý do: vi phạm bất đẳng thức tam giác (SSS/SAS) — mỗi cạnh phải ngắn hơn tổng hai cạnh còn lại, nên bộ cạnh như 1, 1, 10 không bao giờ khép kín được — hoặc tổng góc vô lý (ASA/AAS/AAA), khi các góc đã cho cộng lại đã bằng hoặc vượt quá 180°.
Công cụ này có tính được diện tích, chu vi, bán kính không?
Có — khi tam giác đã giải xong, diện tích tính bằng công thức Heron, chu vi là tổng ba cạnh, bán kính nội tiếp bằng diện tích chia nửa chu vi, và bán kính ngoại tiếp bằng (cạnh·cạnh·cạnh) chia (4 × diện tích).
Với a=7, b=8, c=9, diện tích và bán kính nội/ngoại tiếp là bao nhiêu?
Nửa chu vi s = 12, nên diện tích (công thức Heron) là √(12·5·4·3) = √720 ≈ 26.83. Bán kính nội tiếp r = diện tích/s ≈ 2.24, và bán kính ngoại tiếp R = abc/(4·diện tích) ≈ 4.70.

Công cụ liên quan