C(10,3) bằng bao nhiêu?

C(10,3) đếm số cách chọn không thứ tự 3 phần tử từ 10. Theo công thức C(n,r) = n!/(r!(n-r)!): 10!/(3! × 7!) = 720/6 = 120.

nCr — ký hiệu C(n,r) hay {n}{r} — là số cách chọn r phần tử từ n phần tử phân biệt, trong đó thứ tự lựa chọn không quan trọng. Chọn cùng ba người theo thứ tự khác nhau vẫn là cùng một nhóm.

Tổ hợp khác chỉnh hợp ở điểm nào?

Tổ hợp đếm cách chọn không thứ tự; chỉnh hợp đếm cách sắp xếp có thứ tự. Chọn một ban 3 người không phân vai từ 10 người là tổ hợp (120 cách); chọn chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký từ cùng 10 người đó là chỉnh hợp (720 cách) vì mỗi vai trò khác nhau.

nCr liên hệ với nPr thế nào?

nCr = nPr / r!. Chỉnh hợp đếm riêng mọi cách sắp xếp của cùng r phần tử, còn tổ hợp gộp r! cách sắp xếp đó thành một kết quả duy nhất, nên chia cho r! sẽ chuyển từ đếm sắp xếp sang đếm lựa chọn. C(10,3) = 720/6 = 120.

Vì sao C(n,r) bằng C(n,n−r)?

Chọn r phần tử để giữ lại cũng chính là chọn n − r phần tử để bỏ ra — mỗi cách chọn có đúng một phần bù tương ứng. C(10,3) = C(10,7) = 120.

Vì sao C(n,0) luôn bằng 1?

Chọn 0 phần tử chỉ có đúng một kết quả — cách chọn rỗng — nên C(n,0) = 1 với mọi n. Khớp với công thức: n!/(0! × n!) = 1.

C(n,n) bằng bao nhiêu?

Khi r = n, chỉ có đúng một cách chọn — chọn toàn bộ tập hợp — nên C(n,n) = 1 với mọi n.

Máy Tính Tổ Hợp (Chọn Không Thứ Tự) nCr

Tính C(n,r) — số cách chọn r phần tử từ n, không quan tâm thứ tự — theo công thức n!/(r!(n−r)!), liên hệ nCr = nPr/r!, và tính đối xứng, kèm lời giải từng bước.

Loading calculator…

Cách dùng công cụ

Nhập n (tổng số phần tử phân biệt có sẵn) và r (số phần tử cần chọn). Công cụ trả về C(n, r) — số cách chọn không thứ tự — kèm công thức giai thừa, liên hệ nPr/r!, quy tắc đối xứng, và lời giải từng bước.

Mẹo: Tổ hợp trả lời câu hỏi "có bao nhiêu nhóm r phần tử có thể chọn từ n?" Nếu thứ tự kết quả có quan trọng, bạn cần chỉnh hợp (nPr) — xem bảng so sánh bên dưới.

Thứ tự không quan trọng — ý tưởng cốt lõi

Tổ hợp đếm các cách chọn không thứ tự. Hãy hình dung một ban gồm 3 người chọn từ 10 người — không ai giữ vai trò riêng, nên ban gồm An, Bình, Chi là cùng một kết quả dù chọn theo thứ tự nào. Sự không nhạy cảm với thứ tự đó chính là điều $nCr$ đo lường.

C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Ví dụ đầy đủ — C(10,3)

C(10,3) = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{720}{6} = 120

Có 120 ban 3 người khác nhau có thể lập từ 10 người.

Liên hệ nCr = nPr / r!

Mỗi tổ hợp tương ứng với $r!$ chỉnh hợp — mỗi cách sắp xếp khác nhau của cùng một nhóm. Chia số chỉnh hợp cho $r!$ sẽ gộp các cách sắp xếp đó lại thành một cách chọn duy nhất:

C(n,r) = \frac{P(n,r)}{r!}

Với $P(10,3) = 720$ và $r! = 3! = 6$ : $C(10,3) = 720/6 = 120$ — khớp với công thức giai thừa ở trên. Đây là lý do dòng thay số của công cụ luôn hiện nPr chia cho r! song song với tỷ số giai thừa.

Tính đối xứng: C(n,r) = C(n,n−r)

Chọn r phần tử để giữ lại khó ngang với chọn $n-r$ phần tử để bỏ ra — hai lựa chọn này quyết định lẫn nhau. Vì vậy $C(n,r)$ và $C(n,n-r)$ luôn cho cùng một kết quả:

C(10,3) = C(10,7) = 120

Chọn một ban 3 người từ 10 người có số cách bằng đúng số cách chọn ra 7 người không thuộc ban đó. Tính đối xứng này cũng là lý do tam giác Pascal đối xứng qua trục giữa mỗi hàng — mỗi hàng chính là các giá trị $nCr$ ứng với $n$ đó.

Tổ hợp và chỉnh hợp

Cả hai đều xuất phát từ cùng $n$ phần tử, nhưng trả lời hai câu hỏi khác nhau:

	Tổ hợp `nCr`	Chỉnh hợp `nPr`
Câu hỏi	Có bao nhiêu cách chọn r phần tử?	Có bao nhiêu thứ tự sắp xếp r phần tử?
Công thức	$n!/(r!(n-r))!$	$n!/(n-r)!$
Ví dụ (10 người, r = 3)	Ban 3 người: 120 cách	Chủ tịch/Phó/Thư ký: 720 cách
Quan hệ	$nCr = nPr / r!$	—

Ví dụ trong bài toán rút bài, chia 5 lá từ bộ 52 lá thành một tay bài không thứ tự cho $C(52,5) = 2{,}598{,}960$ tay bài có thể — con số khởi điểm của mọi bài toán xác suất poker.

Các trường hợp đặc biệt

C(n, 0) = 1 — chỉ có đúng một cách chọn 0 phần tử: cách chọn rỗng.
C(n, n) = 1 — chỉ có đúng một cách chọn toàn bộ n phần tử.
C(n, 1) = n — chọn một phần tử duy nhất từ n chính là chọn xem phần tử nào.
C(n, r) = C(n, n−r) — đối xứng: chọn r phần tử để giữ có cùng số cách với chọn n − r phần tử để bỏ.

Câu hỏi thường gặp

C(10,3) bằng bao nhiêu?: C(10,3) đếm số cách chọn không thứ tự 3 phần tử từ 10. Theo công thức $C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)$ : $10!/(3! \times 7!) = 720/6 = 120$ .
nCr nghĩa là gì?: nCr — ký hiệu $C(n,r)$ hay $\binom{n}{r}$ — là số cách chọn $r$ phần tử từ $n$ phần tử phân biệt, trong đó thứ tự lựa chọn không quan trọng. Chọn cùng ba người theo thứ tự khác nhau vẫn là cùng một nhóm.
Tổ hợp khác chỉnh hợp ở điểm nào?: Tổ hợp đếm cách chọn không thứ tự; chỉnh hợp đếm cách sắp xếp có thứ tự. Chọn một ban 3 người không phân vai từ 10 người là tổ hợp (120 cách); chọn chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký từ cùng 10 người đó là chỉnh hợp (720 cách) vì mỗi vai trò khác nhau.
nCr liên hệ với nPr thế nào?: $nCr = nPr / r!$ . Chỉnh hợp đếm riêng mọi cách sắp xếp của cùng $r$ phần tử, còn tổ hợp gộp $r!$ cách sắp xếp đó thành một kết quả duy nhất, nên chia cho $r!$ sẽ chuyển từ đếm sắp xếp sang đếm lựa chọn. $C(10,3) = 720/6 = 120$ .
Vì sao C(n,r) bằng C(n,n−r)?: Chọn r phần tử để giữ lại cũng chính là chọn n − r phần tử để bỏ ra — mỗi cách chọn có đúng một phần bù tương ứng. $C(10,3) = C(10,7) = 120$ .
Vì sao C(n,0) luôn bằng 1?: Chọn 0 phần tử chỉ có đúng một kết quả — cách chọn rỗng — nên $C(n,0) = 1$ với mọi $n$ . Khớp với công thức: $n!/(0! \times n!) = 1$ .
C(n,n) bằng bao nhiêu?: Khi $r = n$ , chỉ có đúng một cách chọn — chọn toàn bộ tập hợp — nên $C(n,n) = 1$ với mọi $n$ .