CalConverters

Máy Tính Chỉnh Hợp (Hoán Vị Chọn) nPr

Tính P(n,r) — số cách sắp xếp có thứ tự r phần tử chọn từ n — theo công thức n!/(n−r)!, rút gọn giai thừa, kèm lời giải từng bước rõ ràng.

Loading calculator…

Cách dùng công cụ

Nhập n (tổng số phần tử phân biệt có sẵn) và r (số phần tử cần sắp xếp). Công cụ trả về P(n, r) — số cách sắp xếp có thứ tự — kèm công thức giai thừa, dãy nhân đã rút gọn, và lời giải từng bước.

Mẹo: Chỉnh hợp trả lời câu hỏi "có bao nhiêu cách sắp xếp r phần tử theo thứ tự?" Nếu thứ tự kết quả không quan trọng, bạn cần tổ hợp (nCr) — xem bảng so sánh bên dưới.

Thứ tự quan trọng — ý tưởng cốt lõi

Chỉnh hợp đếm các cách sắp xếp có thứ tự. Hãy hình dung một cuộc đua 10 vận động viên, cần biết có bao nhiêu kết quả hạng nhất/nhì/ba có thể xảy ra. Đổi chỗ người về nhất và người về ba tạo ra một kết quả khác, dù vẫn là ba người đó trên bục. Sự nhạy cảm với thứ tự đó chính là điều nPrnPr đo lường.

P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Ví dụ đầy đủ — P(10,3)

P(10,3)=10!7!=10×9×8=720P(10,3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720

Tỷ số giai thừa 10!/7!10!/7! trông rối rắm cho tới khi bạn nhận ra 7!7! triệt tiêu gần hết 10!10! — mọi thừa số từ 7 xuống 1 đều rút gọn, chỉ còn lại ba thừa số trên cùng: 10×9×810 \times 9 \times 8. Đó là lý do dòng khai triển của công cụ luôn hiện một tích ngắn thay vì hai giai thừa khổng lồ: với bất kỳ P(n,r)P(n,r) nào, chỉ có rr thừa số còn lại, đếm ngược từ nn.

Chỉnh hợp và tổ hợp

Cả hai đều xuất phát từ cùng nn phần tử, nhưng trả lời hai câu hỏi khác nhau:

Chỉnh hợp nPrTổ hợp nCr
Câu hỏiCó bao nhiêu thứ tự sắp xếp r phần tử?Có bao nhiêu cách chọn r phần tử?
Công thứcn!/(n−r)!n!/(n-r)!n!/(r!(n−r)!)n!/(r!(n-r)!)
Ví dụ (10 người, r = 3)Chủ tịch/Phó/Thư ký: 720 cáchBan 3 người: 120 cách
Quan hệ—nCr=nPr/r!nCr = nPr / r!

Quan hệ này rất trực tiếp: tổ hợp chính là chỉnh hợp sau khi gộp r!r! cách sắp xếp nội bộ của mỗi nhóm thành một. C(10,3)=P(10,3)/3!=720/6=120C(10,3) = P(10,3)/3! = 720/6 = 120.

Lỗi kinh điển: nhầm chỉnh hợp với tổ hợp

Lỗi phổ biến nhất trong các bài đếm là chọn sai công thức vì chưa tự hỏi "thứ tự có quan trọng không?". Ví dụ chọn 2 người, 2 phần thưởng:

  • Giải nhất và giải nhì là hai phần thưởng khác nhau → thứ tự quan trọng → dùng nPrnPr.
  • Cả hai người thắng đều nhận một phiếu quà tặng giống hệt nhau → thứ tự không quan trọng → dùng nCrnCr.

Cùng chọn 2 người từ cùng một nhóm, nhưng số cách đếm được lại khác: P(n,2)P(n,2) đếm mỗi cặp hai lần (mỗi cách sắp xếp một lần), còn C(n,2)C(n,2) chỉ đếm một lần. Luôn tự hỏi đổi chỗ hai phần tử đã chọn có làm thay đổi kết quả hay không trước khi chọn công thức.

Các trường hợp đặc biệt

  • P(n, 0) = 1 — chỉ có đúng một cách sắp xếp 0 phần tử: không làm gì cả (cách sắp xếp rỗng).
  • P(n, n) = n! — khi mọi phần tử đều được xếp vị trí, công thức chỉnh hợp rút về giai thừa thuần túy, vì (n−n)!=0!=1(n-n)! = 0! = 1.
  • P(n, 1) = n — sắp xếp một phần tử duy nhất chọn từ n chính là chọn xem phần tử nào.

Câu hỏi thường gặp

P(10,3) bằng bao nhiêu?
P(10,3) đếm số cách sắp xếp có thứ tự 3 phần tử chọn từ 10. Theo công thức P(n,r)=n!/(n−r)!P(n,r) = n!/(n-r)!: 10!/7!=10×9×8=72010!/7! = 10 \times 9 \times 8 = 720.
nPr nghĩa là gì?
nPr — ký hiệu P(n,r)P(n,r) — là số cách sắp xếp rr phần tử chọn từ nn phần tử phân biệt, trong đó thứ tự sắp xếp có ý nghĩa. Hạng nhất, hạng nhì, hạng ba là ba kết quả khác nhau dù cùng ba người đó.
Chỉnh hợp khác tổ hợp ở điểm nào?
Chỉnh hợp đếm cách sắp xếp có thứ tự; tổ hợp đếm cách chọn không thứ tự. Chọn chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký từ 10 người là chỉnh hợp (720 cách) vì mỗi vai trò khác nhau; chọn một ban gồm 3 người không phân vai từ cùng 10 người đó là tổ hợp (120 cách).
Lỗi thường gặp nhất khi tính chỉnh hợp là gì?
Nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp — dùng nPrnPr khi thứ tự thực ra không quan trọng, hoặc dùng nCrnCr khi thứ tự có quan trọng. Hãy tự hỏi trước: đổi chỗ hai phần tử đã chọn có tạo ra kết quả khác không? Có thì dùng nPrnPr, không thì dùng nCrnCr.
Vì sao P(n,0) luôn bằng 1?
Chọn 0 phần tử chỉ có đúng một kết quả — cách sắp xếp rỗng — nên P(n,0)=1P(n,0) = 1 với mọi nn. Khớp với công thức: n!/(n−0)!=n!/n!=1n!/(n-0)! = n!/n! = 1.
P(n,n) bằng bao nhiêu?
Khi r=nr = n, mọi phần tử đều được xếp vị trí, nên P(n,n)=n!P(n,n) = n!. Ví dụ P(5,5)=5!=120P(5,5) = 5! = 120 — số cách xếp cả 5 phần tử thành một hàng.
nPr liên hệ với nCr thế nào?
nCr=nPr/r!nCr = nPr / r!. Chỉnh hợp đếm riêng mọi cách sắp xếp của cùng rr phần tử, còn tổ hợp gộp r!r! cách sắp xếp đó thành một kết quả duy nhất, nên chia cho r!r! sẽ chuyển từ đếm sắp xếp sang đếm lựa chọn. C(10,3)=720/6=120C(10,3) = 720/6 = 120.

Công cụ liên quan