Công Cụ Dựng Tam Giác Pascal

Cách dùng công cụ

Nhập số hàng bạn muốn xem (hàng 0 đến hàng n − 1), công cụ sẽ dựng tam giác theo đúng quy tắc cộng mà Pascal dùng: mỗi hàng bắt đầu và kết thúc bằng 1, còn mỗi ô ở giữa bằng tổng hai ô ngay phía trên nó. Dải kết quả phía trên hiển thị hàng cuối cùng bạn yêu cầu, kèm tổng của hàng đó.

Quy tắc dựng hàng

Hàng 0 chỉ có 1. Mỗi hàng sau giữ số 1 ở hai đầu, còn mỗi số ở giữa bằng tổng hai số ngay phía trên:

Sáu hàng đầu dựng theo cách này:

Hàng 0:            1
Hàng 1:          1   1
Hàng 2:        1   2   1
Hàng 3:      1   3   3   1
Hàng 4:    1   4   6   4   1
Hàng 5:  1   5  10  10   5   1

Kiểm tra số ở giữa hàng 4: $6 = 3 + 3$, đúng bằng tổng hai số 3 ngay phía trên nó ở hàng 3.

Hàng n chứa các hệ số tổ hợp

Vị trí $k$ của hàng $n$ (cả hai đánh số từ 0) bằng $\binom{n}{k} = C(n, k)$ — số cách chọn $k$ phần tử từ tập $n$ phần tử. Hàng 4 là $\binom{4}{0}, \binom{4}{1}, \binom{4}{2}, \binom{4}{3}, \binom{4}{4}$, tức 1, 4, 6, 4, 1. Đây cũng là lý do mỗi hàng đối xứng: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.

Tổng mỗi hàng gấp đôi hàng trước

Cộng toàn bộ một hàng sẽ ra một lũy thừa của 2: hàng 4 có tổng $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$. Mỗi số trong một hàng góp phần tạo ra hai số của hàng kế tiếp (một bên trái, một bên phải), nên tổng hàng luôn gấp đôi bước trước, bắt đầu từ tổng 1 của hàng 0.

Khai triển nhị thức

Các số này cũng chính là hệ số khi khai triển $(a + b)^n$. Hàng 2 cho 1, 2, 1, khớp với $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Hàng 3 cho 1, 3, 3, 1, khớp với $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ — lý do tam giác này xuất hiện thường xuyên trong đại số và xác suất.

Những đường chéo ẩn

Đọc tam giác theo đường chéo sẽ lộ ra những dãy số nổi tiếng khác:

Đường chéo cuối cùng thú vị nhất: cộng các số nằm trên một đường chéo thoải — mỗi bước sang trái một ô rồi lên một hàng, lặp lại — sẽ tái tạo đúng dãy Fibonacci, nối trực tiếp tam giác này với nhóm công cụ tỉ lệ vàng.

Ví dụ mẫu — 6 hàng

1. Hàng 0: 1.
2. Hàng 1: hai đầu là 1, nên 1 1.
3. Hàng 2: hai đầu 1, ở giữa $1 + 1 = 2$ → 1 2 1.
4. Hàng 3: hai đầu 1, ở giữa $1+2=3$ và $2+1=3$ → 1 3 3 1.
5. Hàng 4: hai đầu 1, ở giữa $1+3=4$, $3+3=6$, $3+1=4$ → 1 4 6 4 1.
6. Hàng 5: hai đầu 1, ở giữa $1+4=5$, $4+6=10$, $6+4=10$, $4+1=5$ → 1 5 10 10 5 1, tổng bằng $32 = 2^5$.