Máy Tính Chỉnh Hợp Lặp (n^r)

Cách dùng công cụ

Nhập n (số ký hiệu có sẵn tại mỗi vị trí) và r (số vị trí cần lấp đầy). Công cụ trả về PR(n, r) = n^r — số cách sắp xếp có thứ tự khi được phép lặp lại — kèm cách lập luận theo từng vị trí.

Được phép lặp lại — điểm khác biệt cốt lõi với nPr

Chỉnh hợp thường loại phần tử đã chọn ra khỏi tập nguồn, nên không có gì lặp lại. Chỉnh hợp có lặp bỏ quy tắc đó: mỗi vị trí được lấp đầy độc lập từ toàn bộ n ký hiệu, nên cùng một ký hiệu có thể xuất hiện nhiều lần. Đó chính xác là cách mã PIN hoạt động — chữ số 7 có thể xuất hiện ở vị trí 1 và vị trí 3 của cùng một mã.

Mỗi trong r vị trí có n lựa chọn độc lập, nên số cách nhân dồn lại: n × n × n × … (r lần).

Ví dụ đầy đủ — mã PIN 3 chữ số từ 5 ký hiệu

Vị trí 1 có 5 chữ số khả dĩ, vị trí 2 vẫn 5 chữ số đó (một chữ số có thể lặp), và vị trí 3 lại 5 chữ số đó — không có gì bị loại sau khi dùng. Nhân ba lựa chọn độc lập lại cho ra 125 mã có thể có.

Bốn cách lấy mẫu r phần tử từ n

Việc lặp lại và thứ tự có quan trọng hay không đều làm thay đổi công thức đếm. Có đúng bốn trường hợp:

Công cụ này xử lý ô dưới-trái — thứ tự quan trọng và được phép lặp lại. Đây là trường hợp duy nhất trong bốn trường hợp mà r được tự do vượt quá n, vì bạn không bao giờ hết ký hiệu để dùng lại.

Vì sao r có thể vượt quá n ở đây

Ở chỉnh hợp thường, bắt buộc $r \le n$ — không thể xếp nhiều phần tử hơn số lượng có sẵn nếu không dùng lại. Với chỉnh hợp có lặp, giới hạn đó biến mất: mật khẩu 10 ký tự vẫn có thể tạo từ bảng chữ 5 ký tự, vì mỗi trong 10 vị trí độc lập lấy từ cùng 5 chữ cái đó. $PR(5,10) = 5^{10} = 9{,}765{,}625$.

Các ví dụ thường gặp

• Mã PIN 4 chữ số, chữ số 0–9: $PR(10,4) = 10^4 = 10{,}000$.
• Mật khẩu 6 ký tự, chỉ chữ thường: $PR(26,6) = 26^6 = 308{,}915{,}776$.
• Biển số xe, 3 chữ cái cho phép lặp: mỗi vị trí chữ cái là một lựa chọn độc lập trong 26 chữ.

Cả ba ví dụ đều cùng một dạng: r vị trí độc lập, mỗi vị trí lấy từ cùng bảng n ký hiệu, cho ra tổng $n^r$ cách sắp xếp.