Máy Tính Logarit (log cơ số b của x)

Logarit nghĩa là gì

Logarit trả lời một câu hỏi kiểu "lũy thừa nào?". $\log_b x = y$ nghĩa là: nâng cơ số $b$ lên lũy thừa $y$ thì ra $x$. Viết theo chiều ngược lại dưới dạng lũy thừa:

$\log_b x = y \iff b^y = x$

Ví dụ, $\log_2 8 = 3$ vì $2^3 = 8$ — phải nhân $2$ với chính nó $3$ lần để đạt tới $8$. Logarit và lũy thừa mô tả cùng một mối quan hệ giữa $b$, $x$, $y$; logarit chỉ là giải ra số mũ thay vì giải ra kết quả.

Logarit là phép toán ngược của lũy thừa

Lũy thừa và logarit là hai phép toán ngược nhau, giống như cộng/trừ và nhân/chia:

Vì là hai phép toán ngược nhau, nâng cơ số lên logarit của chính nó luôn trả về giá trị ban đầu: $b^{\log_b x} = x$. Mục "Đẳng thức định nghĩa" của công cụ này hiển thị phép kiểm tra thay số này cho mọi kết quả.

Ba loại logarit có tên riêng

Mọi cơ số dương (khác 1) đều hợp lệ, nhưng ba cơ số sau xuất hiện nhiều đến mức có tên riêng:

Nhập chữ e vào ô cơ số để tính logarit tự nhiên — công cụ này hiểu chữ e là số Euler, tính với độ chính xác đầy đủ.

Vì sao x và cơ số có giới hạn

Logarit chỉ xác định khi $x > 0$ và cơ số $b$ thỏa $b > 0$ và $b \neq 1$:

• $x \leq 0$ không hợp lệ. Một cơ số dương nâng lên lũy thừa thực nào cũng luôn dương — không có $y$ thực nào để $b^y \leq 0$ khi $b > 0$.
• $b \leq 0$ không hợp lệ. Nâng cơ số âm lên lũy thừa không nguyên (hầu hết kết quả logarit đều như vậy) không cho ra số thực.
• $b = 1$ không hợp lệ. $1^y = 1$ với mọi $y$, nên $\log_1 x$ không có đáp án duy nhất — công cụ để nó là không xác định thay vì đoán mò.

Công cụ này báo bất kỳ trường hợp nào ở trên là ngoài phạm vi thay vì trả về một con số gây hiểu lầm.

Kết quả chính xác so với giá trị thập phân gần đúng

Khi $x$ là lũy thừa đúng của cơ số — như $\log_2 8$ hay $\log_{10} 1000$ — kết quả là một số nguyên, tính chính xác. Hầu hết giá trị nhập vào không phải lũy thừa đúng, nên kết quả là số thập phân vô tỷ, được công cụ này làm tròn đến 6 chữ số: $\log_{10} 8 \approx 0.903090$, vì không có lũy thừa nguyên nào của 10 ra đúng 8.

Ví dụ 1 (chính xác, logarit nhị phân): $\log_2 8 = 3$, vì $2^3 = 8$.

Ví dụ 2 (chính xác, logarit thường): $\log_{10} 1000 = 3$, vì $10^3 = 1000$.

Ví dụ 3 (chính xác, logarit tự nhiên): $\ln e = 1$, vì $e^1 = e$.

Ví dụ 4 (giá trị gần đúng): $\log_{10} 8 \approx 0.903090$, vì $10^{0.903090} \approx 8$.

Logarit xuất hiện ở đâu

Logarit nén những khoảng giá trị rất lớn thành thang đo dễ quản lý — thang Richter, thang decibel, và pH đều là thang logarit vì lý do này. Trong tài chính, logarit tự nhiên biến tỷ lệ tăng trưởng kép thành thứ có thể cộng trừ được. Trong khoa học máy tính, logarit nhị phân đo số lần một bài toán có thể chia đôi, đó là lý do các thuật toán sắp xếp và tìm kiếm được mô tả theo $\log_2 n$. Để tính chiều ngược lại — giải phương trình tìm số mũ chưa biết — hãy xem các công cụ lũy thừa liên quan; còn với lũy thừa nguyên và lũy thừa phân số, xem công cụ Lũy Thừa và Lũy Thừa Phân Số.