Tam giác cân là gì?

Tam giác có đúng hai cạnh bằng nhau, gọi là cạnh bên (a=c), và hai góc đối diện chúng cũng bằng nhau (góc đáy, A=C). Cạnh còn lại là đáy (b), góc còn lại là góc đỉnh.

Công thức tính diện tích tam giác cân là gì?

Biết cạnh bên a và đáy b: K = b/4{4a^2-b^2}. Với a=5, b=6: K = 6/4{100-36} = 6/4(8) = 12.

Công thức tính chiều cao (đường cao xuống đáy) là gì?

Đường cao từ đỉnh xuống đáy là h_b = 1/2{4a^2-b^2}. Công thức này đến từ định lý Pythagore: đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông có cạnh b/2 và h_b, cạnh huyền a, nên h_b = {a^2-(b/2)^2}.

Còn đường cao ứng với cạnh bên thì sao?

Đường cao ứng với một cạnh bên là h_a = h_c = b/2a{4a^2-b^2} — một độ dài khác (thường ngắn hơn) so với h_b, vì nó hạ từ một đỉnh đáy xuống cạnh bên đối diện, chứ không phải từ đỉnh xuống đáy.

Làm sao tính góc đáy và góc đỉnh?

Hai góc đáy bằng nhau: A = C = \!(b/2/a). Góc đỉnh là phần còn lại của 180°: B = 180° - 2A. Với a=5, b=6: A ≈ 53.13° và B ≈ 73.74°.

Vì sao đáy phải nhỏ hơn hai lần cạnh bên?

Đây chính là bất đẳng thức tam giác áp dụng cho tam giác cân: đáy phải ngắn hơn tổng hai cạnh bên, b a+a = 2a. Nếu b 2a, hai cạnh bên không đủ dài để chụm lại phía trên đáy, nên không tạo được tam giác.

Tam giác đều có phải là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân không?

Đúng vậy — khi đáy bằng cạnh bên (b=a), cả ba cạnh bằng nhau và tam giác trở thành tam giác đều. Mọi công thức của tam giác đều chính là kết quả khi cho b=a vào các công thức tam giác cân này.

Máy Tính Tam Giác Cân: Diện Tích, Chiều Cao, Góc

Tính diện tích, chiều cao, chu vi và các góc của tam giác cân từ cạnh bên và cạnh đáy — kết quả căn thức chính xác, rút gọn tối giản.

Loading calculator…

Công thức tam giác cân

Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau $a$ (cũng ký hiệu $c$ ) và một cạnh đáy $b$ . Hai góc đáy ( $A=C$ , đối diện hai cạnh bên) bằng nhau, góc đỉnh $B$ nằm giữa hai cạnh bên.

Biết cạnh bên $a$ và đáy $b$ , mọi đại lượng khác đều suy ra từ một biệt thức duy nhất, $4a^2-b^2$ :

Đại lượng	Công thức
Chu vi	$P = 2a+b$
Nửa chu vi	$s = a+\dfrac{b}{2}$
Diện tích	$K = \dfrac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$
Đường cao xuống đáy	$h_b = \dfrac{1}{2}\sqrt{4a^2-b^2}$
Đường cao ứng cạnh bên	$h_a = h_c = \dfrac{b}{2a}\sqrt{4a^2-b^2}$
Góc đáy	$A = C = \arccos\!\left(\dfrac{b/2}{a}\right)$
Góc đỉnh	$B = 180° - 2A$

Mẹo: Đường cao xuống đáy chia tam giác cân thành hai tam giác vuông bằng nhau, mỗi tam giác có cạnh

b/2

và

h_b

, cạnh huyền

a

. Định lý Pythagore cho

h_b = \sqrt{a^2-(b/2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4a^2-b^2}

, và diện tích suy ra từ

K = \frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b

Ví dụ đầy đủ: cạnh bên a = 5, đáy b = 6

$4a^2-b^2 = 4(25)-36 = 64 \qquad h_b = \frac{1}{2}\sqrt{64} = 4 \qquad K = \frac{6}{4}\sqrt{64} = \frac{6\times8}{4} = 12$

$P = 2(5)+6 = 16 \qquad s = 5+3 = 8 \qquad A = C = \arccos(0.6) \approx 53.13° \qquad B \approx 73.74°$

Đây thực chất là hai tam giác vuông 3-4-5 ghép lưng vào nhau qua đường cao, nên mọi giá trị đều "đẹp". Không phải cặp cạnh bên/đáy nào cũng gọn như vậy — với cạnh bên $a=5$ , đáy $b=4$ , biệt thức là $84 = 4\times21$ , nên $h_b = \sqrt{21} \approx 4.5826$ : vẫn là dạng chính xác, chỉ là không ra số nguyên.

Giải với đáy khác

Ví dụ: cạnh bên a = 5, đáy b = 8

$4a^2-b^2 = 4(25)-64 = 36 \qquad h_b = \frac{1}{2}\sqrt{36} = 3 \qquad K = \frac{8}{4}\sqrt{36} = \frac{8\times6}{4} = 12$

Thú vị là tam giác này có diện tích bằng đúng ví dụ $a=5,b=6$ ở trên (đều là 12), dù chiều cao ( $3$ ) thấp hơn — đáy rộng hơn bù lại cho chiều cao nhỏ hơn. Góc đáy cũng mở hơn: $A = C = \arccos(0.8) \approx 36.87°$ , nên góc đỉnh $B \approx 106.26°$ lớn hơn nhiều — đây là một tam giác cân "dẹt", rộng bản, chứ không "nhọn" như ví dụ trước.

Những lỗi thường gặp

Lấy cạnh bên làm chiều cao. Đường cao xuống đáy $h_b$ luôn ngắn hơn cạnh bên $a$ — nhầm lẫn hai đại lượng này sẽ làm diện tích bị tính cao hơn thực tế.
Quên điều kiện tồn tại $b \lt 2a$ . Đáy phải ngắn hơn hai lần cạnh bên, nếu không sẽ không tạo được tam giác — công cụ sẽ báo lỗi thay vì hiển thị một kết quả căn âm vô nghĩa.
Nhầm lẫn $h_b$ với $h_a=h_c$ . Đường cao xuống đáy và đường cao ứng với cạnh bên thường là hai độ dài khác nhau; chỉ trong trường hợp đặc biệt chúng mới trùng nhau.

Ứng dụng thực tế

Mái nhà, vì kèo: mặt cắt mái nhà hình chữ A cổ điển chính là một tam giác cân, với đỉnh mái là góc đỉnh và khẩu độ là cạnh đáy.
Thiết kế đối xứng: biển báo, cờ đuôi nheo, và nhiều họa tiết kiến trúc dùng hình tam giác cân vì nó chỉ có đúng một trục đối xứng.
Đo đạc, xây dựng: mọi bố trí với hai thanh chống bằng nhau và một khoảng cách đã biết giữa hai chân đều quy về đúng quan hệ cạnh bên/đáy này.

Tam giác cân là dạng tổng quát của tam giác đều (trường hợp đặc biệt $b=a$ ), và bản thân nó là một trường hợp đặc biệt của tam giác tổng quát trong Định Lý Tam Giác và Định Lý Cosin. Việc tính chiều cao của nó là ứng dụng trực tiếp của quan hệ tam giác vuông, vì đường cao xuống đáy chia nó thành hai tam giác vuông bằng nhau.

Câu hỏi thường gặp

Tam giác cân là gì?: Tam giác có đúng hai cạnh bằng nhau, gọi là cạnh bên ( $a=c$ ), và hai góc đối diện chúng cũng bằng nhau (góc đáy, $A=C$ ). Cạnh còn lại là đáy ( $b$ ), góc còn lại là góc đỉnh.
Công thức tính diện tích tam giác cân là gì?: Biết cạnh bên $a$ và đáy $b$ : $K = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$ . Với $a=5$ , $b=6$ : $K = \frac{6}{4}\sqrt{100-36} = \frac{6}{4}(8) = 12$ .
Công thức tính chiều cao (đường cao xuống đáy) là gì?: Đường cao từ đỉnh xuống đáy là $h_b = \frac{1}{2}\sqrt{4a^2-b^2}$ . Công thức này đến từ định lý Pythagore: đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông có cạnh $b/2$ và $h_b$ , cạnh huyền $a$ , nên $h_b = \sqrt{a^2-(b/2)^2}$ .
Còn đường cao ứng với cạnh bên thì sao?: Đường cao ứng với một cạnh bên là $h_a = h_c = \frac{b}{2a}\sqrt{4a^2-b^2}$ — một độ dài khác (thường ngắn hơn) so với $h_b$ , vì nó hạ từ một đỉnh đáy xuống cạnh bên đối diện, chứ không phải từ đỉnh xuống đáy.
Làm sao tính góc đáy và góc đỉnh?: Hai góc đáy bằng nhau: $A = C = \arccos\!\left(\frac{b/2}{a}\right)$ . Góc đỉnh là phần còn lại của $180°$ : $B = 180° - 2A$ . Với $a=5$ , $b=6$ : $A \approx 53.13°$ và $B \approx 73.74°$ .
Vì sao đáy phải nhỏ hơn hai lần cạnh bên?: Đây chính là bất đẳng thức tam giác áp dụng cho tam giác cân: đáy phải ngắn hơn tổng hai cạnh bên, $b \lt a+a = 2a$ . Nếu $b \geq 2a$ , hai cạnh bên không đủ dài để chụm lại phía trên đáy, nên không tạo được tam giác.
Tam giác đều có phải là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân không?: Đúng vậy — khi đáy bằng cạnh bên ( $b=a$ ), cả ba cạnh bằng nhau và tam giác trở thành tam giác đều. Mọi công thức của tam giác đều chính là kết quả khi cho $b=a$ vào các công thức tam giác cân này.