CalConverters

Máy Tính Định Lý Cosin: Giải Tam Giác SSS & SAS

Giải tam giác từ ba cạnh (SSS) hoặc hai cạnh và góc xen giữa (SAS) bằng định lý cosin — tính mọi cạnh, mọi góc và diện tích của tam giác.

Loading calculator…

Công thức định lý cosin

Định lý cosin liên hệ ba cạnh của một tam giác với một góc của nó — áp dụng cho MỌI tam giác, không chỉ tam giác vuông:

a2=b2+c2−2bccos⁡Ab2=a2+c2−2accos⁡Bc2=a2+b2−2abcos⁡Ca^2 = b^2+c^2-2bc\cos A \qquad b^2 = a^2+c^2-2ac\cos B \qquad c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C

Công cụ này giải theo cả hai chiều:

BiếtGiảiCông thức
Ba cạnh (SSS)Một góc bất kỳA=cos⁡−1 ⁣(b2+c2−a22bc)A = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)
Hai cạnh + góc xen giữa (SAS)Cạnh thứ bac=a2+b2−2abcos⁡Cc = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}
Mẹo: Góc trong công thức SAS phải là góc NẰM GIỮA hai cạnh đã biết — CC nằm giữa aa và bb, đối diện với cạnh cc cần tìm. Một góc không xen giữa là bài toán khác (SSA), giải bằng định lý sin.

Giải SSS (biết ba cạnh)

Ví dụ: cạnh a = 7, b = 8, c = 9

cos⁡A=82+92−722(8)(9)=96144≈0.6667A≈48.19°\cos A = \frac{8^2+9^2-7^2}{2(8)(9)} = \frac{96}{144} \approx 0.6667 \qquad A \approx 48.19°

Áp dụng công thức tương tự cho từng cạnh, ta được B≈58.41°B \approx 58.41° và C≈73.40°C \approx 73.40° (tổng bằng 180°, đúng như mọi tam giác). Vì đã biết cả ba cạnh, diện tích tính trực tiếp bằng công thức Heron: K≈26.83K \approx 26.83.

Giải SAS (biết hai cạnh và góc xen giữa)

Ví dụ: cạnh a = 5, b = 7, góc xen giữa C = 60°

c=52+72−2(5)(7)cos⁡60°=74−70(0.5)=39≈6.245c = \sqrt{5^2+7^2-2(5)(7)\cos 60°} = \sqrt{74-70(0.5)} = \sqrt{39} \approx 6.245

Khi đã biết cc, hai góc còn lại tính tiếp bằng định lý cosin (hoặc định lý sin, vì lúc này đã có một cặp cạnh-góc), và diện tích tính bằng K=12absin⁡C=12(5)(7)sin⁡60°≈15.16K = \tfrac{1}{2}ab\sin C = \tfrac{1}{2}(5)(7)\sin 60° \approx 15.16.

Mẹo: Nếu góc xen giữa của SAS đúng bằng 90°, cos⁡C=0\cos C = 0, công thức rút gọn về định lý Pythagore thông thường — thử a = 3, b = 4, C = 90° và kiểm tra c ra đúng bằng 5.

Những lỗi thường gặp

  • Dùng góc không xen giữa trong công thức SAS. Nếu góc không nằm giữa hai cạnh đã cho, định lý cosin viết như trên không áp dụng được — đó là trường hợp SSA, do định lý sin xử lý (và có thể cho hai nghiệm).
  • Quên dấu trừ. Bỏ quên số hạng −2bccos⁡A-2bc\cos A (hoặc quên dấu của nó) là lỗi đại số phổ biến nhất với công thức này.
  • Nhập ba cạnh không thỏa bất đẳng thức tam giác. Mỗi cạnh phải ngắn hơn tổng hai cạnh còn lại — ba cạnh như 1, 1, 10 không thể khép thành tam giác.

Ứng dụng thực tế

  • Trắc địa, hàng hải: đo khoảng cách qua một chướng ngại vật bằng cách đo hai đoạn và góc giữa chúng.
  • Vật lý: tổng hợp hai vectơ ở một góc bất kỳ — độ lớn vectơ tổng chính là một bài toán định lý cosin.
  • Kỹ thuật, xây dựng: mọi bài toán bố trí có góc đã biết khác 90°, nơi định lý Pythagore thông thường không áp dụng được.

Định lý cosin là tổng quát hóa trực tiếp của Định Lý Pythagore cho mọi tam giác, và cùng chung ý tưởng với công cụ tam giác vuông khi giải cạnh — chỉ khác là không đòi hỏi góc 90°. Kết hợp với định lý sin và quy tắc tổng góc tam giác, đây là một trong những công cụ cốt lõi để giải bất kỳ tam giác nào từ dữ kiện một phần.

Câu hỏi thường gặp

Định lý cosin là gì?
Mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác và một góc của nó: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2+c^2-2bc\cos A (và hai công thức tương tự cho bb, cc). Đây là tổng quát hóa của định lý Pythagore cho mọi tam giác, không chỉ tam giác vuông.
Khi nào dùng định lý cosin thay vì định lý sin?
Dùng định lý cosin khi biết cả ba cạnh (SSS) hoặc hai cạnh cùng góc xen giữa (SAS) — cả hai trường hợp đều không có sẵn cặp cạnh-góc đối diện để lập tỉ lệ theo định lý sin. Định lý sin dùng cho các trường hợp ASA/AAS/SSA.
Làm sao tìm một góc khi biết ba cạnh (SSS)?
Biến đổi công thức để giải góc: A=cos⁡−1 ⁣(b2+c2−a22bc)A = \cos^{-1}\!\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right). Với ba cạnh 7, 8, 9: A≈48.19°A \approx 48.19°; hai góc còn lại tính tương tự, hoặc góc cuối có thể lấy 180°180° trừ hai góc kia.
Làm sao tìm cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và góc xen giữa (SAS)?
Dùng công thức c=a2+b2−2abcos⁡Cc = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}, trong đó CC là góc NẰM GIỮA hai cạnh đã biết aa và bb. Với a=5a=5, b=7b=7, C=60°C=60°: c=25+49−70(0.5)=39≈6.245c = \sqrt{25+49-70(0.5)} = \sqrt{39} \approx 6.245.
Vì sao góc phải nằm GIỮA hai cạnh đã cho?
Cách chứng minh định lý cosin dựng đường vuông góc từ đỉnh nằm giữa hai cạnh đã biết — công thức chỉ đúng khi góc đó chính là góc được thay vào. Dùng một góc không xen giữa với hai cạnh là bài toán khác (SSA), do định lý sin xử lý (và có thể có không, một, hoặc hai nghiệm).
Vì sao có những bộ ba cạnh không tạo thành tam giác?
Theo bất đẳng thức tam giác: mỗi cạnh phải ngắn hơn tổng hai cạnh còn lại. Ba cạnh 1, 1, và 10 không thỏa điều này (10 ≥ 1+1), nên không tồn tại tam giác như vậy — công cụ sẽ báo không hợp lệ thay vì trả về một góc vô nghĩa.
Diện tích được tính thế nào sau khi giải xong tam giác?
Khi biết cả ba cạnh (SSS), công thức Heron cho diện tích trực tiếp từ ba cạnh và nửa chu vi. Với SAS, công thức đơn giản hơn K=12absin⁡CK = \tfrac{1}{2}ab\sin C dùng hai cạnh đã cho và góc xen giữa.
Định lý cosin có liên quan gì đến định lý Pythagore?
Có — đây chính là trường hợp tổng quát. Khi góc bằng đúng 90°, cos⁡90°=0\cos 90° = 0, và a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A rút gọn thành a2=b2+c2a^2=b^2+c^2, đúng là định lý Pythagore.

Công cụ liên quan