CalConverters

Máy Tính Trung Điểm

Tính trung điểm chính xác giữa hai tọa độ (x1,y1) và (x2,y2), hoặc tìm điểm đầu mút còn thiếu khi biết một đầu mút và trung điểm.

Loading calculator…

Công thức tính trung điểm

Trung điểm MM của đoạn nối (x1,y1)(x_1, y_1) và (x2,y2)(x_2, y_2) là:

M=(x1+x22,  y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Mỗi tọa độ của MM chỉ đơn giản là trung bình cộng của tọa độ tương ứng ở hai đầu mút — điểm cách đều cả hai, nằm trên đoạn thẳng nối chúng.

Mẹo: Tọa độ trung điểm không nhất thiết phải là số nguyên. Bất cứ khi nào hai tọa độ tương ứng cộng lại ra số lẻ, trung bình cộng sẽ là một số bán nguyên như −0.5-0.5 — đó là đáp số chính xác, không phải sai số làm tròn.

Ví dụ tính từng bước

Với (3,3)(3, 3) và (−4,−7)(-4, -7):

M=(3+(−4)2,3+(−7)2)=(−12,−2)=(−0.5,−2)M = \left(\frac{3 + (-4)}{2}, \frac{3 + (-7)}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -2\right) = (-0.5, -2)

Với tọa độ nguyên như (6,3)(6, 3) và (12,7)(12, 7), trung điểm cũng là số nguyên: M=(9,5)M = (9, 5).

Tìm điểm đầu mút còn thiếu

Đôi khi trung điểm đã biết trước, cùng với chỉ một đầu mút — ví dụ, trung điểm của đường kính một đường tròn chính là tâm của nó, và biết tâm cùng một điểm trên đường tròn sẽ xác định được điểm đối xứng qua tâm. Giải công thức trung điểm theo đầu mút chưa biết cho ra:

x2=2xM−x1,y2=2yM−y1x_2 = 2x_M - x_1, \qquad y_2 = 2y_M - y_1

Ví dụ: đầu mút (6,−4)(6, -4), trung điểm (1,7)(1, 7):

x2=2(1)−6=−4,y2=2(7)−(−4)=18x_2 = 2(1) - 6 = -4, \qquad y_2 = 2(7) - (-4) = 18

Vậy đầu mút còn thiếu là (−4,18)(-4, 18).

Mẹo: Lỗi thường gặp nhất ở đây là trừ trực tiếp thay vì nhân đôi trước — phải là 2xM−x12x_M - x_1, không phải xM−x1x_M - x_1. Nhân đôi trung điểm trước khi trừ chính là bước "hủy" phép lấy trung bình ban đầu.

Khoảng cách giữa hai đầu mút

Vì hai đầu mút của một đoạn thẳng và trung điểm của nó luôn nằm trên cùng một đường thẳng, công cụ này cũng tính luôn khoảng cách chính xác giữa hai đầu mút (xem công cụ Khoảng Cách Giữa Hai Điểm để biết công thức đầy đủ) — tiện lợi khi bạn cần cả trung điểm lẫn độ dài đoạn thẳng trong một lần tính.

Trung điểm xuất hiện ở đâu

  • Hình học: tâm của một đường tròn chính là trung điểm của bất kỳ đường kính nào.
  • Xây dựng và thiết kế: tìm chính xác tâm của một bức tường, thanh dầm, hay hình khối để cân bằng hoặc chia đều nó.
  • Đồ họa và hoạt hình: nội suy một điểm nằm chính giữa hai vị trí.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính trung điểm là gì?
Trung điểm MM của đoạn nối (x1,y1)(x_1,y_1) và (x2,y2)(x_2,y_2) là M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) — đơn giản là trung bình cộng của hai hoành độ và trung bình cộng của hai tung độ.
Vì sao trung điểm lại chỉ là trung bình cộng tọa độ?
Một điểm nằm chính giữa hai đầu mút, theo định nghĩa, phải cách đều cả hai. Lấy trung bình từng tọa độ chia đều hiệu số theo cả hai hướng, và đó chính xác là ý nghĩa của "cách đều hai đầu" đối với một đoạn thẳng.
Trung điểm ra kết quả kiểu -1/2 nghĩa là gì?
Điều này xảy ra bất cứ khi nào tổng hai tọa độ tương ứng là số lẻ — chia một số lẻ cho 2 không bao giờ ra số nguyên. Ví dụ 3+(−4)=−13 + (-4) = -1, và −1/2=−0.5-1/2 = -0.5 là một tọa độ trung điểm hoàn toàn chính xác, không phải sai số làm tròn.
Biết trung điểm và một đầu mút, làm sao tìm đầu mút còn lại?
Đảo ngược công thức trung điểm: x2=2xM−x1x_2 = 2x_M - x_1 và y2=2yM−y1y_2 = 2y_M - y_1. Cách này đúng vì công thức trung điểm cho biết xMx_M là trung bình cộng của x1x_1 và x2x_2 — nhân đôi sẽ "hủy" phép lấy trung bình, rồi trừ x1x_1 để tách riêng đầu mút chưa biết.
Lỗi thường gặp nhất khi tìm đầu mút còn thiếu là gì?
Trừ trực tiếp thay vì nhân đôi trước — công thức đúng là x2=2xM−x1x_2 = 2x_M - x_1, không phải xM−x1x_M - x_1. Quên nhân 2 là lỗi phổ biến nhất, vì công thức đảo trông khá giống công thức trung điểm gốc.
Có quan trọng điểm nào là (x1,y1), điểm nào là (x2,y2) không?
Không quan trọng. Phép cộng không phụ thuộc thứ tự, nên đổi chỗ hai đầu mút vẫn cho ra đúng trung điểm đó. Điều này khác với công cụ Khoảng Cách và Độ Dốc, nơi đổi chỗ hai điểm làm đổi dấu các bước trung gian (dù kết quả cuối vẫn giống nhau).
Công cụ này liên quan gì đến Khoảng Cách và Độ Dốc?
Cả ba công cụ đều dùng chung hai điểm (x1,y1)(x_1,y_1) và (x2,y2)(x_2,y_2) nhưng khai thác một đặc điểm khác nhau của đoạn thẳng nối chúng: Khoảng Cách tìm độ dài, Độ Dốc tìm độ nghiêng, còn Trung Điểm tìm điểm nằm chính giữa đoạn đó.

Công cụ liên quan