Máy Tính Định Lý Pythagore: Cạnh Huyền, Cạnh Góc Vuông

Định lý Pythagore

Với mọi tam giác vuông — tam giác có một góc 90° — hai cạnh ngắn hơn (cạnh góc vuông, $a$ và $b$) và cạnh dài nhất (cạnh huyền, $c$, luôn đối diện góc vuông) thỏa mãn:

$a^2 + b^2 = c^2$

Biết hai trong ba cạnh, công cụ này giải ra cạnh còn lại theo hai cách:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Diện tích tam giác vuông tính trực tiếp từ hai cạnh góc vuông: $A = \dfrac{ab}{2}$.

Tìm cạnh huyền

Biết cả hai cạnh góc vuông, bình phương từng cạnh, cộng lại rồi lấy căn bậc hai:

Ví dụ: cạnh a = 6, b = 8

$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

$A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$

Vì 100 là số chính phương, cạnh huyền ra đúng số nguyên — không cần căn thức.

Ví dụ: cạnh a = 1, b = 1

$c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.4142$

Ở đây 2 không có thừa số chính phương nào, nên $\sqrt{2}$ đã ở dạng tối giản — công cụ hiển thị cả căn thức chính xác lẫn giá trị thập phân gần đúng. Đáng chú ý, diện tích vẫn chính xác $A = \frac{1 \times 1}{2} = 0.5$, dù cạnh huyền là số vô tỷ — diện tích và cạnh huyền là hai câu hỏi độc lập nhau.

Tìm cạnh góc vuông còn thiếu

Biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông, biến đổi định lý để tách cạnh còn lại:

Ví dụ: cạnh huyền c = 13, cạnh a = 5

$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$

Đây là bộ ba 5-12-13 quen thuộc. Diện tích là $A = \frac{5 \times 12}{2} = 30$.

Bộ ba Pythagore

Bộ ba Pythagore là ba số nguyên dương thỏa mãn chính xác $a^2+b^2=c^2$, nên mọi cạnh — kể cả cạnh huyền — đều là số nguyên. Bộ nhỏ nhất là:

Mọi bội số của một bộ ba đã biết — như (6, 8, 10), gấp đôi (3, 4, 5) — cũng là một bộ ba hợp lệ.

Những lỗi thường gặp

• Nhầm cạnh huyền với cạnh góc vuông. Cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất và luôn đối diện góc vuông — thay giá trị của một cạnh góc vuông vào vị trí $c$ (hoặc ngược lại) sẽ cho kết quả vô nghĩa.
• Viết $c = a + b$. Định lý nói về BÌNH PHƯƠNG các cạnh, không phải bản thân các cạnh — hai cạnh 6 và 8 cho cạnh huyền 10, không phải 14.
• Áp dụng cho tam giác không vuông. $a^2+b^2=c^2$ chỉ đúng khi tam giác có góc 90° thực sự. Với tam giác khác, hãy dùng Định lý Cosin.

Ứng dụng thực tế

• Khoảng cách giữa hai điểm: Công thức khoảng cách chính là định lý này áp dụng cho tọa độ, coi hiệu hoành độ và hiệu tung độ là hai cạnh góc vuông.
• Đường chéo hình vuông hoặc chữ nhật: đường chéo chính là cạnh huyền của tam giác vuông tạo bởi hai cạnh kề nhau.
• Xây dựng: thợ xây kiểm tra góc vuông thật sự bằng tam giác 3-4-5 — nếu ba vạch theo tỉ lệ đó tạo thành tam giác khép kín, góc đó đúng 90°.

Định lý Pythagore cũng là trường hợp đặc biệt của Định Lý Cosin khi góc xen giữa đúng bằng 90° (vì $\cos 90° = 0$ làm số hạng thêm biến mất) — cùng một quan hệ nền tảng mà các công cụ Công Thức Khoảng Cách và Rút Gọn Căn Thức của công cụ này dựa vào.