CalConverters

Máy Tính Khoảng Cách Giữa Hai Điểm

Tính khoảng cách chính xác giữa hai điểm (x1,y1) và (x2,y2) trên mặt phẳng tọa độ bằng định lý Pythagore, kèm căn thức rút gọn và giá trị thập phân từng bước.

Loading calculator…

Công thức tính khoảng cách

Khoảng cách giữa hai điểm (x1,y1)(x_1, y_1) và (x2,y2)(x_2, y_2) trên mặt phẳng tọa độ là:

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Hai điểm này, cùng với điểm góc nằm đối diện chúng, tạo thành một tam giác vuông: cạnh ngang có độ dài Δx=x2−x1\Delta x = x_2 - x_1, cạnh dọc có độ dài Δy=y2−y1\Delta y = y_2 - y_1, và khoảng cách theo đường thẳng giữa hai điểm ban đầu chính là cạnh huyền. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác đó cho ra công thức ở trên.

Các bước tính

Để tìm khoảng cách giữa hai điểm:

  1. Trừ hoành độ: Δx=x2−x1\Delta x = x_2 - x_1.
  2. Trừ tung độ: Δy=y2−y1\Delta y = y_2 - y_1.
  3. Bình phương hai hiệu rồi cộng lại: Δx2+Δy2\Delta x^2 + \Delta y^2.
  4. Lấy căn bậc hai của tổng đó — rút gọn thành căn thức nhỏ hơn nếu có thể, hoặc làm tròn thành giá trị thập phân gần đúng.
Mẹo: Thứ tự trừ không quan trọng — đổi điểm nào là "1", điểm nào là "2" thì mỗi hiệu chỉ đổi dấu, và dấu đó biến mất ngay khi bình phương.

Ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 — kết quả vô tỷ, rút gọn về căn thức nhỏ hơn: với (−2,3)(-2, 3) và (4,−7)(4, -7), Δx=4−(−2)=6\Delta x = 4-(-2) = 6 và Δy=−7−3=−10\Delta y = -7-3 = -10, nên d=62+(−10)2=36+100=136=234≈11.6619d = \sqrt{6^2+(-10)^2} = \sqrt{36+100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \approx 11.6619.

Ví dụ 2 — bộ ba Pythagore, kết quả nguyên chính xác: với (5,6)(5, 6) và (−7,11)(-7, 11), Δx=−12\Delta x = -12 và Δy=5\Delta y = 5, nên d=(−12)2+52=144+25=169=13d = \sqrt{(-12)^2+5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13 chính xác.

Ví dụ 3 — tam giác 3-4-5 kinh điển: với (0,0)(0,0) và (3,4)(3,4), d=32+42=9+16=25=5d = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.

Ví dụ 4 — không còn thừa số nào để tách ra: với (0,0)(0,0) và (1,1)(1,1), d=12+12=2≈1.4142d = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1.4142 — đã ở dạng căn thức tối giản, vì 2 không có thừa số chính phương nào khác ngoài 1.

Dạng chính xác so với giá trị thập phân gần đúng

Vì phần lớn các cặp tọa độ không cách nhau đúng theo một bộ ba Pythagore, khoảng cách chính xác thường là một số vô tỷ — không bao giờ kết thúc hay lặp lại dưới dạng thập phân. Công cụ này hiển thị cả hai dạng: căn thức rút gọn chính xác (ví dụ 2342\sqrt{34}), có được theo cùng cách công cụ Rút Gọn Căn Thức đưa các thừa số chính phương ra khỏi số bị khai căn, và giá trị thập phân gần đúng làm tròn bên dưới (ví dụ ≈11.661904\approx 11.661904) để dùng dạng nào phù hợp với bài toán.

Mẹo: Khoảng cách bằng đúng 00 nghĩa là hai điểm trùng nhau — không có gì để rút gọn, và giá trị thập phân gần đúng được bỏ qua vì nó chỉ lặp lại cùng một số nguyên.

Công cụ liên quan

Công cụ này dùng chung cơ chế rút gọn căn thức chính xác với Rút Gọn Căn Thức (tách thừa số chính phương ra khỏi số bị khai căn nguyên bất kỳ) và dùng chung quan hệ tam giác nền tảng với công cụ Định Lý Pythagore, vốn nhận trực tiếp độ dài hai cạnh góc vuông thay vì hai điểm tọa độ. Cùng hai điểm đó còn xác định một Trung Điểm (nằm chính giữa chúng) và một Độ Dốc (độ nghiêng của đường thẳng đi qua chúng) — ba góc nhìn bổ trợ cho cùng một cặp tọa độ.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm là gì?
Khoảng cách dd giữa hai điểm (x1,y1)(x_1,y_1) và (x2,y2)(x_2,y_2) trên mặt phẳng tọa độ là d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. Công thức này xuất phát trực tiếp từ định lý Pythagore: đoạn thẳng nối hai điểm chính là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là hiệu hoành độ Δx=x2−x1\Delta x = x_2 - x_1 và hiệu tung độ Δy=y2−y1\Delta y = y_2 - y_1.
Vì sao công thức khoảng cách lại dùng định lý Pythagore?
Hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng, cùng với điểm góc vuông nằm ngang với điểm này và thẳng đứng với điểm kia, tạo thành một tam giác vuông. Hai hiệu tọa độ Δx\Delta x và Δy\Delta y chính là hai cạnh góc vuông của tam giác đó, còn khoảng cách theo đường thẳng giữa hai điểm ban đầu là cạnh huyền — vậy d2=Δx2+Δy2d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 chính là định lý Pythagore a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 viết theo tọa độ.
Có quan trọng việc điểm nào là (x1,y1), điểm nào là (x2,y2) không?
Không quan trọng. Đổi chỗ hai điểm chỉ làm đổi dấu Δx\Delta x và Δy\Delta y, nhưng cả hai hiệu đều được bình phương ngay sau đó, mà bình phương thì xóa sạch dấu âm. Kết quả cuối cùng — cùng mọi bước bình phương trung gian — hoàn toàn giống nhau dù chọn điểm nào là điểm 1, nên bạn có thể chọn điểm nào thuận tiện hơn để liệt kê trước.
Kết quả dạng căn thức rút gọn như 2√34 nghĩa là gì?
Phần lớn các cặp điểm không cách nhau đúng một số nguyên đơn vị, nên khoảng cách là một số vô tỷ không bao giờ kết thúc dưới dạng thập phân. Công cụ này hiển thị giá trị chính xác dưới dạng căn thức đã rút gọn (đưa mọi thừa số chính phương ra ngoài, ví dụ 136=234\sqrt{136} = 2\sqrt{34} vì 136=4×34136 = 4 \times 34), kèm theo giá trị thập phân gần đúng để bạn dùng dạng nào phù hợp với bài toán.
Khi nào khoảng cách là một số nguyên?
Khoảng cách là số nguyên khi Δx2+Δy2\Delta x^2 + \Delta y^2 là một số chính phương — thường gặp nhất khi ∣Δx∣|\Delta x|, ∣Δy∣|\Delta y| và dd tạo thành một bộ ba Pythagore như 3-4-5, 5-12-13, hoặc 8-15-17. Bất kỳ bội số nào của một bộ ba đã biết (ví dụ 6-8-10) cũng cho ra khoảng cách là số nguyên.
Tôi có thể nhập tọa độ thập phân thay vì số nguyên không?
Có — công thức áp dụng y hệt cho tọa độ thập phân. Nếu hiệu các tọa độ không tình cờ triệt tiêu về số nguyên, giá trị dưới dấu căn sẽ được hiển thị chưa rút gọn (ví dụ 6.25\sqrt{6.25}) kèm giá trị thập phân gần đúng, vì việc rút gọn bằng phân tích thừa số nguyên tố chỉ áp dụng được cho số bị khai căn là số nguyên.
Công cụ này khác gì so với công cụ Định Lý Pythagore?
Công cụ Định Lý Pythagore nhận trực tiếp độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Công cụ này thay vào đó nhận hai điểm tọa độ, tự tính Δx\Delta x và Δy\Delta y cho bạn, rồi áp dụng cùng hệ thức a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 để tìm cạnh huyền — chính là khoảng cách theo đường thẳng giữa hai điểm.

Công cụ liên quan