CalConverters

Máy Tính Độ Dốc (Hệ Số Góc)

Tính độ dốc giữa hai điểm (x1,y1) và (x2,y2) dưới dạng phân số tối giản chính xác, kèm phương trình điểm-dốc, dốc-giao trục và dạng chuẩn tắc.

Loading calculator…

Công thức tính độ dốc

Độ dốc mm của đường thẳng qua (x1,y1)(x_1, y_1) và (x2,y2)(x_2, y_2) là:

m=ΔyΔx=y2−y1x2−x1m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Đây là "lên chia ngang" (rise over run): Δy\Delta y là độ lên/xuống theo chiều dọc, còn Δx\Delta x là độ đi ngang, giữa hai điểm.

Mẹo: Trừ tọa độ theo cùng một thứ tự ở tử và mẫu — y2−y1y_2-y_1 trên x2−x1x_2-x_1, không phải y2−y1y_2-y_1 trên x1−x2x_1-x_2. Đổi chỗ điểm nào là "1", điểm nào là "2" thì cả hai hiệu cùng đổi dấu một lúc nên kết quả độ dốc vẫn giống nhau, nhưng nếu chỉ đổi thứ tự ở một trong hai hiệu thì kết quả sẽ bị đổi dấu sai.

Hai trường hợp đặc biệt

  • Đường nằm ngang (Δy=0\Delta y = 0): độ dốc bằng đúng 00 — yy không đổi.
  • Đường thẳng đứng (Δx=0\Delta x = 0): độ dốc không xác định — chia cho 0 không có giá trị. Phương trình của đường thẳng đứng đơn giản là x=x1x = x_1.

Đây là hai tình huống đối lập, không phải giống nhau: độ dốc 00 là một đường phẳng hoàn toàn có thật; độ dốc không xác định nghĩa là không có tốc độ lên/xuống nào cả, vì độ đi ngang bằng 0.

Ba phương trình cho cùng một đường thẳng

Khi đã biết độ dốc mm và một điểm (x1,y1)(x_1,y_1), đường thẳng có thể viết theo ba cách:

Dạng điểm-dốc: y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

Dạng dốc-giao trục: giải dạng điểm-dốc theo yy để được y=mx+by = mx + b, với b=y1−mx1b = y_1 - mx_1 là giao điểm trục yy.

Dạng chuẩn tắc: quy đồng mẫu số của dạng dốc-giao trục và chuyển hết về một vế: Ax+By=CAx + By = C, với AA, BB, CC là số nguyên, A≥0A \geq 0, và không có ước chung nào khác 11.

Ví dụ tính từng bước

Với (2,3)(2, 3) và (7,−9)(7, -9): Δy=−9−3=−12\Delta y = -9-3 = -12 và Δx=7−2=5\Delta x = 7-2 = 5, nên m=−125=−2.4m = -\frac{12}{5} = -2.4.

Dạng điểm-dốc qua (2,3)(2,3): y−3=−125(x−2)y - 3 = -\frac{12}{5}(x-2).

Giải theo yy: y=−125x+395y = -\frac{12}{5}x + \frac{39}{5} (vậy b=395=7.8b = \frac{39}{5} = 7.8).

Quy đồng mẫu số: 12x+5y=3912x + 5y = 39.

Đường thẳng cắt trục yy tại (0,395)\left(0, \frac{39}{5}\right) và cắt trục xx tại (134,0)\left(\frac{13}{4}, 0\right) — tìm bằng cách cho x=0x=0 (ra y=by=b) và y=0y=0 (ra x=−bmx=-\frac{b}{m}) trong dạng dốc-giao trục.

Độ dốc song song và vuông góc

Đường thẳng song song với đường này có đúng độ dốc mm. Đường thẳng vuông góc với nó có độ dốc nghịch đảo âm −1m-\frac{1}{m} — với m=−125m=-\frac{12}{5}, đó là 512\frac{5}{12}. Đường nằm ngang (m=0m=0) vuông góc với đường thẳng đứng (độ dốc không xác định), và ngược lại.

Công cụ liên quan

Cùng hai điểm đó còn xác định Khoảng Cách Giữa Hai Điểm (độ dài đường thẳng nối chúng) — còn công cụ này tìm độ nghiêng của đoạn đó, cùng mọi phương trình của đường thẳng đi qua nó. Độ dốc và Công Thức Nghiệm Bậc Hai đều mô tả đường cong từ các hệ số của chúng; đường thẳng chỉ là trường hợp bậc 1 (mm và bb thay vì aa, bb, cc).

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính độ dốc là gì?
Độ dốc mm của đường thẳng qua (x1,y1)(x_1,y_1) và (x2,y2)(x_2,y_2) là m=ΔyΔx=y2−y1x2−x1m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} — "lên chia ngang" (rise over run): yy thay đổi bao nhiêu ứng với mỗi đơn vị xx thay đổi.
Vì sao độ dốc của đường thẳng đứng lại không xác định?
Đường thẳng đứng có x2=x1x_2 = x_1, nên Δx=0\Delta x = 0. Công thức độ dốc sẽ chia cho 0, phép tính này không có giá trị — vậy độ dốc không xác định (không tồn tại), chứ không phải bằng 0. Đường thẳng đứng vẫn có phương trình rõ ràng, chỉ không phải dạng "y=mx+by=mx+b": đó là x=x1x = x_1 với mọi điểm trên đường.
Độ dốc bằng 0 khác gì với độ dốc không xác định?
Độ dốc bằng 00 nghĩa là đường nằm ngang (Δy=0\Delta y = 0, yy không đổi khi xx thay đổi). Độ dốc không xác định nghĩa là đường thẳng đứng (Δx=0\Delta x = 0, xx không đổi). Đây là hai trường hợp đối lập nhau, không phải giống nhau — nhầm lẫn hai điều này là lỗi phổ biến nhất khi học về độ dốc.
Làm sao tìm phương trình đường thẳng từ hai điểm?
Trước tiên tính độ dốc m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Sau đó thay mm và một trong hai điểm vào dạng điểm-dốc y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x-x_1). Giải phương trình đó theo yy ra dạng dốc-giao trục y=mx+by=mx+b; quy đồng mẫu số và chuyển hết về một vế cho ra dạng chuẩn tắc Ax+By=CAx+By=C. Cả ba đều mô tả cùng một đường thẳng.
Đường thẳng song song với đường này có độ dốc bao nhiêu?
Đúng bằng độ dốc mm của đường ban đầu. Hai đường thẳng song song không bao giờ cắt nhau, điều này chỉ có thể xảy ra khi chúng lên/xuống với cùng tốc độ — bất kỳ hai đường phân biệt nào có cùng độ dốc đều song song với nhau.
Đường thẳng vuông góc với đường này có độ dốc bao nhiêu?
Là nghịch đảo âm, −1m-\frac{1}{m} — lật ngược phân số rồi đổi dấu. Ví dụ độ dốc −4-4 ứng với độ dốc vuông góc 14\frac{1}{4}. Khi m=0m=0 (nằm ngang), đường vuông góc là đường thẳng đứng nên độ dốc không xác định; khi mm không xác định (thẳng đứng), đường vuông góc nằm ngang với độ dốc 00.
Dạng chuẩn tắc Ax + By = C được chọn thế nào — cùng một đường lẽ ra viết được nhiều cách?
Đúng vậy — nhân mọi số hạng với một hằng số khác 0 bất kỳ vẫn cho ra phương trình tương đương. Công cụ này chọn đúng một dạng chuẩn tắc: AA, BB, CC là số nguyên không có ước chung nào khác 11, và A≥0A \geq 0, để mỗi đường thẳng chỉ có đúng một đáp án dạng chuẩn tắc thay vì vô số đáp án tương đương.

Công cụ liên quan