Máy Tính Công Thức Nghiệm Bậc Hai

Công thức nghiệm bậc hai

Một phương trình bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các số và $a \neq 0$. Nghiệm của nó — những giá trị $x$ thỏa mãn phương trình — được cho bởi công thức nghiệm:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Dấu $\pm$ chính là thứ tạo ra hai nghiệm: một với dấu $+$, một với dấu $-$. Mọi thứ phụ thuộc vào đại lượng nằm dưới dấu căn.

Biệt thức quyết định tất cả

Biểu thức dưới dấu căn, $\Delta = b^2 - 4ac$, gọi là biệt thức (delta). Chỉ riêng dấu của nó đã cho biết có bao nhiêu nghiệm và thuộc loại nào — trước cả khi giải xong:

Ví dụ — hai nghiệm thực

Giải $x^2 - 8x + 5 = 0$, nên $a = 1$, $b = -8$, $c = 5$.

1. Biệt thức: $\Delta = (-8)^2 - 4(1)(5) = 64 - 20 = 44$. Vì $44 > 0$ nên có hai nghiệm thực phân biệt.
2. Thay vào công thức: $x = \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{44}}{2(1)} = \dfrac{8 \pm \sqrt{44}}{2}$.
3. Rút gọn căn: $\sqrt{44} = \sqrt{4 \times 11} = 2\sqrt{11}$, nên $x = \dfrac{8 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 4 \pm \sqrt{11}$.
4. Nghiệm: $x_1 = 4 + \sqrt{11} \approx 7.31662$ và $x_2 = 4 - \sqrt{11} \approx 0.683375$.

Hai nghiệm là chính xác dưới dạng căn thức; các số thập phân là giá trị làm tròn.

Ví dụ — nghiệm phức

Giải $5x^2 + 20x + 32 = 0$, nên $a = 5$, $b = 20$, $c = 32$.

1. Biệt thức: $\Delta = 20^2 - 4(5)(32) = 400 - 640 = -240$. Vì $-240 < 0$ nên nghiệm là số phức.
2. Thay vào công thức: $x = \dfrac{-20 \pm \sqrt{-240}}{2(5)} = \dfrac{-20 \pm \sqrt{-240}}{10}$.
3. Xử lý căn của số âm: $\sqrt{-240} = \sqrt{240}\,i = 4\sqrt{15}\,i$, vì $240 = 16 \times 15$. Vậy $x = \dfrac{-20 \pm 4\sqrt{15}\,i}{10}$.
4. Rút gọn: chia cả tử và mẫu cho 2, $x = -2 \pm \dfrac{2\sqrt{15}}{5}i \approx -2 \pm 1.54919i$.

Hai nghiệm là số phức liên hợp — cùng phần thực nhưng phần ảo trái dấu.

Rút gọn căn thức

Lý do đáp số hiện căn thức như $2\sqrt{11}$ thay vì số thập phân dài là vì căn thức rút gọn chính xác tuyệt đối. Để rút gọn $\sqrt{44}$: tách ra số chính phương lớn nhất, $44 = 4 \times 11$, rồi đưa $\sqrt{4} = 2$ ra ngoài, còn lại $2\sqrt{11}$. Cùng bước đó biến $\sqrt{240}$ thành $4\sqrt{15}$. Xem máy tính Rút Gọn Căn Thức cho riêng bước này.

Liên hệ với hoàn thành bình phương

Công thức nghiệm không phải phép màu — nó chính là kết quả của việc hoàn thành bình phương trên phương trình tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$. Viết lại vế trái thành $a(x - h)^2 + k$ rồi giải theo $x$ sẽ tái tạo lại đúng công thức. Nếu muốn xem dạng đỉnh trung gian đó, hãy dùng máy tính Hoàn Thành Bình Phương; vẫn là toán đó, chỉ trình bày theo cách khác.

Phương trình bậc hai xuất hiện ở đâu

Phương trình bậc hai mô tả chuyển động ném (độ cao theo thời gian), các bài toán diện tích và tối ưu, các hình parabol trong vật lý và kỹ thuật, và điểm hòa vốn trong tài chính. Bất cứ khi nào một quan hệ bình phương một đại lượng, một phương trình bậc hai — và công thức này — luôn theo sát phía sau.