Máy Tính Định Lý Sin: Giải Tam Giác AAS, ASA & SSA

Công thức định lý sin

Định lý sin liên hệ mỗi cạnh của tam giác với sin của góc đối diện nó:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Chỉ cần một cặp cạnh-góc đầy đủ — một cạnh đã biết cùng góc ĐỐI DIỆN với nó — là có thể giải phần còn lại, miễn là có thêm một dữ kiện nữa:

Giải AAS / ASA (hai góc + một cạnh)

Ví dụ: góc A = 40°, góc B = 60°, cạnh a = 10 (đối diện A)

Trước tiên tìm góc thứ ba: $C = 180° - 40° - 60° = 80°$. Sau đó giải cạnh $b$ bằng tỉ số neo vào cặp đã biết $a/\sin A$:

$b = \frac{a\sin B}{\sin A} = \frac{10\sin 60°}{\sin 40°} \approx 13.47$

Cạnh $c$ tính tương tự, và khi đã biết cả ba cạnh, diện tích tính bằng công thức Heron. Trường hợp này luôn cho đúng một tam giác — biết hai góc đã cố định hình dạng tam giác, biết thêm một cạnh cố định kích thước của nó.

Giải SSA — ca mơ hồ

Ví dụ: cạnh a = 6, cạnh b = 8, góc A = 40° (đối diện cạnh a, KHÔNG xen giữa a và b)

Giải góc đối diện cạnh còn lại: $\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{8\sin 40°}{6} \approx 0.8562$, nên $B \approx 58.99°$ hoặc $B \approx 180° - 58.99° = 121.01°$. Cả hai đều giữ $A+B$ nhỏ hơn 180°, nên cả hai đều là tam giác hợp lệ:

• Nghiệm 1: B ≈ 58.99°, C ≈ 81.01°, c ≈ 9.22
• Nghiệm 2: B ≈ 121.01°, C ≈ 18.99°, c ≈ 3.04

Chỉ cần đổi số liệu, kết quả có thể hoàn toàn khác: a = 15, b = 10, góc A = 40° cho ĐÚNG MỘT tam giác (vì a ≥ b nên góc bù sẽ vượt quá 180°), trong khi a = 3, b = 10, góc A = 40° lại KHÔNG cho tam giác nào — tỉ số khiến $\sin B \approx 2.14$, điều không góc thực nào có thể có.

Những lỗi thường gặp

• Ghép sai cặp cạnh-góc. Tỉ số định lý sin chỉ đúng với một cạnh và góc ĐỐI DIỆN nó — cạnh a ghép với góc A, không phải B hay C.
• Bỏ sót nghiệm thứ hai của SSA. Khi rơi vào ca mơ hồ, chỉ báo một tam giác là âm thầm bỏ qua một đáp án hợp lệ về mặt toán học.
• Mặc định SSA luôn có nghiệm. Nếu cạnh đã biết quá ngắn so với cạnh và góc còn lại, không tam giác nào có thể khép kín — hãy kiểm tra $\sin B \le 1$ trước khi tin vào kết quả.

Ứng dụng thực tế

• Trắc địa, hàng hải: xác định vị trí một điểm ở xa từ một đường cơ sở đã đo cùng hai góc (tam giác đạc).
• Thiên văn học: đo thị sai (parallax) quy về đúng một bài toán định lý sin.
• Kỹ thuật: phân tích giàn và khung khi biết hai góc và độ dài một thanh.

Định lý sin là công cụ song hành tự nhiên với định lý cosin — cùng nhau chúng giải được mọi trường hợp tam giác (SSS, SAS, ASA, AAS, SSA). Tỉ số dựa trên sin của nó cũng chính là nền tảng cho cách giải cạnh bằng lượng giác của công cụ tam giác vuông, còn trường hợp tam giác cân là một trường hợp đặc biệt khi hai trong ba cặp cạnh-góc đã bằng nhau sẵn.