CalConverters

Máy Tính Hoán Vị Vòng Tròn

Tính số cách xếp n phần tử phân biệt quanh vòng tròn — công thức (n−1)! — kèm lý do cố định một mốc và so sánh với xếp thành hàng thẳng.

Loading calculator…

Cách dùng công cụ

Nhập số phần tử phân biệt n sẽ ngồi/xếp quanh một vòng tròn — bàn ăn, vòng chìa khóa, chu trình trong sơ đồ. Công cụ trả về (n−1)!(n-1)! — số cách xếp thực sự khác nhau sau khi coi các cách xếp chỉ khác do xoay vòng là một — và đặt cạnh n!n!, con số bạn sẽ có nếu xếp cùng những phần tử đó thành hàng thẳng.

Mẹo: Hoán vị vòng tròn dùng lại đúng cơ chế giai thừa của hoán vị thông thường — điểm khác duy nhất là cố định một phần tử làm mốc trước khi đếm phần còn lại.

Hoán vị vòng tròn là gì?

Hoán vị vòng tròn là cách xếp n phần tử phân biệt quanh một vòng khép kín, trong đó hai cách xếp chỉ khác nhau do xoay vòng được tính là một, không phải hai. Xếp An-Bình-Chi-Dung quanh bàn rồi xoay tất cả sang phải một ghế sẽ cho ra cách xếp giống hệt xét theo quan hệ tương đối — không ai đổi người ngồi cạnh cả — nên không nên đếm hai lần.

Vì sao là (n−1)!(n-1)! chứ không phải n!n!

Hàng thẳng có vị trí đầu và cuối cố định, nên việc chọn ai đứng đầu hàng là quan trọng — đó chính xác là điều n!n! đếm. Vòng tròn thì không có điểm bắt đầu hay kết thúc cố định: không có ghế nào chắc chắn là "ghế đầu tiên". Xoay cả cách xếp đi một vị trí sẽ cho ra một cách xếp giống hệt về mặt tương đối.

Cách khắc phục là loại bỏ sự tự do xoay vòng đó trước khi đếm:

  1. Cố định một phần tử làm mốc — không quan trọng nó ngồi ghế vật lý nào, chỉ quan trọng những người khác ngồi ở đâu so với nó.
  2. Xếp n−1n-1 phần tử còn lại quanh mốc cố định đó, giống hệt như xếp chúng thành hàng: có (n−1)!(n-1)! cách.

Mỗi cách xếp hàng thẳng trong số n!n! cách ứng với đúng nn lần xoay vòng của cùng một cách xếp vòng tròn, nên n!/n=(n−1)!n! / n = (n-1)! — chia bỏ các lần xoay vòng cũng chính là cố định một vị trí.

Lỗi thường gặp

Lỗi phổ biến nhất (nêu trong tài liệu gốc) là dùng n!n! theo thói quen — công thức mọi người học đầu tiên — và quên rằng vòng tròn không có điểm bắt đầu cố định. Với n=6n = 6, lỗi này đếm thừa gấp 6 lần: ra 720720 thay vì đáp số đúng là 120120. Bất cứ khi nào đề bài nói "quanh bàn tròn", "trong một vòng", hay "theo hình tròn", đó là dấu hiệu cần trừ 1 khỏi nn trước khi lấy giai thừa.

Đi xa hơn — dây chuyền và vòng tay

Nếu cách xếp còn có thể lật ngược — một dây chuyền hạt nhìn từ chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ trông giống hệt nhau — thì mỗi cách xếp vòng tròn bị (n−1)!(n-1)! đếm hai lần (một lần cho mỗi chiều), nên số cách xếp thực sự là (n−1)!/2(n-1)!/2. Công cụ này chỉ tính hoán vị vòng tròn thông thường; hãy coi trường hợp dây chuyền/vòng tay là một bước chia đôi tiếp theo sau khi đã có (n−1)!(n-1)!.

Ví dụ minh họa — 6 người quanh bàn tròn

  1. Không có ghế cố định, nên cố định một người làm mốc.
  2. 6−1=56 - 1 = 5 người còn lại có thể xếp theo bất kỳ thứ tự nào quanh mốc đó.
  3. (6−1)!=5!=5×4×3×2×1=120(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.
  4. So sánh với xếp hàng thẳng cùng 6 người đó: 6!=7206! = 720 — gấp đúng 6 lần, vì mỗi cách xếp vòng tròn trong 120 cách có 6 bản sao do xoay vòng nằm trong 720 cách xếp hàng.

Vậy 6 người quanh bàn tròn có 120 cách xếp vòng tròn khác nhau.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao hoán vị vòng tròn là (n−1)! chứ không phải n!?
Hàng thẳng có vị trí đầu và cuối cố định, nên đổi ai đứng đầu hàng tạo ra một cách xếp thực sự khác — đó chính là điều n!n! đếm. Vòng tròn thì không có điểm bắt đầu cố định: xoay cả vòng đi một chỗ cho ra đúng cách xếp cũ. Cố định một người làm mốc sẽ loại bỏ các cách xếp trùng do xoay vòng, chỉ còn n−1n-1 người còn lại được xếp tự do, tức (n−1)!(n-1)!.
6 người ngồi quanh bàn tròn có bao nhiêu cách xếp?
(6−1)!=5!=120(6-1)! = 5! = 120 cách. Nếu xếp thành hàng thẳng thì 6 người đó có 6!=7206! = 720 cách — gấp sáu lần, vì mỗi cách xếp vòng tròn ứng với sáu cách xếp hàng do xoay vòng.
Hoán vị vòng tròn là gì?
Là cách xếp các phần tử phân biệt quanh một vòng khép kín (bàn tròn, dây chuyền, chu trình) mà các cách xếp chỉ khác nhau do xoay vòng được tính là MỘT cách, không phải nhiều cách. Công thức là (n−1)!(n-1)! với nn phần tử phân biệt.
Lỗi thường gặp nhất khi đếm hoán vị vòng tròn là gì?
Dùng n!n! thay vì (n−1)!(n-1)! — coi vòng tròn như hàng thẳng có điểm bắt đầu cố định. Mỗi cách xếp vòng tròn ứng với đúng nn bản sao xoay vòng trong tổng n!n!, nên chia cho nn (tương đương cố định một vị trí) mới ra kết quả đúng (n−1)!(n-1)!.
Nếu cách xếp có thể lật ngược, như dây chuyền hạt, thì sao?
Khi lật (phản chiếu) cũng tạo ra cách xếp giống hệt — ví dụ dây chuyền nhìn từ hai phía trông như nhau — thì mỗi cách xếp vòng tròn bị đếm hai lần trong (n−1)!(n-1)!, nên cần chia thêm 2 để được (n−1)!/2(n-1)!/2. Công cụ này chỉ tính hoán vị vòng tròn thông thường, chưa áp dụng phép chia cho trường hợp lật này.
n có bắt buộc là số nguyên không?
Có — n đếm số phần tử vật lý riêng biệt (người, hạt, món đồ), nên phải là số nguyên từ 1 trở lên. Số thập phân hoặc số âm không có cách xếp chỗ tương ứng.
Công cụ này tính được n lớn nhất là bao nhiêu?
Tới n = 5000, khi đó (n−1)!(n-1)! đã có hàng nghìn chữ số. Mọi kết quả đều dùng số nguyên lớn chính xác tuyệt đối, và kết quả trên 15 chữ số sẽ kèm dạng ký hiệu khoa học để dễ đọc hơn.

Công cụ liên quan