Máy Tính Hoán Vị Chẵn/Lẻ

Cách dùng công cụ

Nhập số phần tử phân biệt n. Công cụ tính $n!$ — tổng số hoán vị — rồi chia đúng làm đôi: $n!/2$ là hoán vị chẵn và $n!/2$ là hoán vị lẻ — luôn chia đều, với mọi $n \ge 2$.

Hoán vị chẵn và hoán vị lẻ là gì?

Bất kỳ hoán vị nào — bất kỳ cách sắp xếp lại nào — của một danh sách đều có thể đạt được từ thứ tự ban đầu bằng một dãy phép chuyển vị: mỗi phép đổi chỗ đúng hai phần tử, giữ nguyên các phần tử còn lại. Một hoán vị là:

• Chẵn nếu đạt được bằng một số chẵn lần đổi chỗ.
• Lẻ nếu cần một số lẻ lần đổi chỗ.

Thoạt nhìn có vẻ mơ hồ — liệu có thể đạt cùng một hoán vị bằng số lần đổi chỗ khác không? Số lần có thể khác, nhưng tính chẵn lẻ thì không bao giờ khác: mọi dãy đổi chỗ hợp lệ tạo ra cùng một hoán vị đều có cùng tính chẵn hay lẻ. Đây là một tính chất cố định, thực sự thuộc về bản thân hoán vị, chứ không phụ thuộc vào cách tạo ra nó.

Vì sao tỷ lệ chia luôn đúng 50/50

Lấy một hoán vị bất kỳ rồi đổi chỗ hai phần tử của nó. Lần đổi chỗ thêm đó đảo ngược tính chẵn/lẻ: chẵn thành lẻ, lẻ thành chẵn. Nếu luôn đổi chỗ một cặp vị trí cố định (ví dụ luôn đổi hai phần tử đầu tiên), ta tạo ra một phép ghép cặp: mỗi hoán vị chẵn được ghép với đúng một hoán vị lẻ (phiên bản đã đổi chỗ của nó), và mỗi hoán vị lẻ cũng được ghép với đúng một hoán vị chẵn theo cách tương tự. Vì phép ghép cặp này phủ hết mọi hoán vị đúng một lần, hai lớp chắc chắn có cùng số lượng:

trong đó $E$ là số hoán vị chẵn và $O$ là số hoán vị lẻ. Điều này đúng với mọi $n \ge 2$, dù $n$ lớn cỡ nào — tỷ lệ không bao giờ lệch về một lớp khi $n$ tăng.

Nhóm thay phiên

Tập hợp các hoán vị chẵn của $n$ phần tử, cùng với quy tắc "hợp hai hoán vị bằng cách thực hiện lần lượt," tạo thành một cấu trúc gọi là nhóm thay phiên, ký hiệu $A_n$. Nhóm này có $n!/2$ phần tử — đúng bằng số lượng mỗi lớp mà công cụ trả về. Nhóm thay phiên là nền tảng của đại số trừu tượng: $A_5$ với 60 phần tử là ví dụ nhỏ nhất của nhóm đơn không giao hoán, một sự kiện liên quan đến việc phương trình bậc 5 tổng quát không có công thức nghiệm bằng căn thức.

Ví dụ minh họa — 4 phần tử

1. Tổng số hoán vị: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
2. Mọi hoán vị đều đạt được từ thứ tự ban đầu bằng một số lần đổi chỗ nào đó; đổi chỗ hai phần tử bất kỳ luôn đảo chẵn ↔ lẻ.
3. Phép đổi chỗ đó ghép mỗi hoán vị chẵn với đúng một hoán vị lẻ, nên 24 hoán vị chia đúng làm đôi.
4. $24 / 2 = 12$ chẵn và $12$ lẻ.

Vậy trong 24 hoán vị của 4 phần tử, 12 hoán vị chẵn và 12 hoán vị lẻ — 12 hoán vị chẵn đó chính là các phần tử của $A_4$.