CalConverters

Máy Tính Dãy Số Fibonacci

Dựng dãy Fibonacci, tìm F(n) tức thì, và xem tỉ số hai số liên tiếp tiến dần về tỉ lệ vàng φ ≈ 1.618 qua từng bước tính toán rõ ràng.

Loading calculator…

Cách dùng công cụ

Nhập một số nguyên n, công cụ sẽ trả về F(n) — số Fibonacci thứ n — cùng toàn bộ dãy từ F(0) đến F(n) và tỉ số của hai số cuối cùng. Kết quả lớn (trên 15 chữ số) còn có thêm dạng khoa học để dải kết quả luôn dễ đọc.

Mẹo: Số Fibonacci được dựng hoàn toàn bằng phép cộng — không nhân hay dùng công thức rút gọn nào trong công cụ này — vì chính việc quan sát dãy số tích lũy dần mới cho thấy rõ sự hội tụ về tỉ lệ vàng.

Công thức truy hồi

Mỗi số Fibonacci bằng tổng hai số liền trước:

Fn=Fn−1+Fn−2,F0=0,  F1=1F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \qquad F_0 = 0,\; F_1 = 1

Từ hai giá trị khởi đầu đó, dãy số triển khai thành:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ \dots

Kiểm tra hai số liên tiếp: 8=5+38 = 5 + 3 và 13=8+513 = 8 + 5 — mỗi số đều là hệ quả trực tiếp của hai số đứng trước nó.

Dãy số bắt đầu từ đâu

Công cụ này theo quy ước chuẩn F0=0,F1=1F_0 = 0, F_1 = 1. Một số tài liệu cũ hoặc không chính thức bỏ số 0 đầu và đếm từ 1, 1, 2, 3, 5, … — hai quy ước này mô tả đúng cùng một dãy phép cộng, chỉ lệch nhau một chỉ số, nên hãy kiểm tra kỹ nguồn tài liệu đang dùng quy ước nào trước khi so sánh giá trị.

Liên hệ với tỉ lệ vàng

Lấy mỗi số Fibonacci chia cho số liền trước, tỉ số này dần tiến về tỉ lệ vàng φ≈1.618034…\varphi \approx 1.618034\ldots:

Fn+1Fn→φ\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi

Ví dụ: 89/55≈1.61889/55 \approx 1.618. Càng đi xa, tỉ số càng gần φ — tới n = 20 tỉ số đã khớp φ tới bốn chữ số thập phân. Đây chính là tỉ lệ vàng quen thuộc trong tỉ lệ cổ điển của nghệ thuật và kiến trúc.

Ứng dụng thực tế

  • Tự nhiên. Đầu hoa hướng dương, quả thông và mắt dứa sắp xếp lớp mọc mới theo góc vàng, tạo ra số vòng xoắn đúng bằng các số Fibonacci liên tiếp.
  • Nghệ thuật và kiến trúc. Tỉ lệ vàng bắt nguồn từ dãy Fibonacci từ lâu đã được dùng (đôi khi bị gán ghép quá mức) làm chuẩn cho tỉ lệ đẹp mắt.
  • Khoa học máy tính. Số Fibonacci xuất hiện trong phân tích thuật toán (đống Fibonacci, trường hợp xấu nhất của thuật toán Euclid), và tính chúng hiệu quả là bài tập kinh điển về quy hoạch động so với đệ quy thuần túy.

Ví dụ mẫu — dựng F(12)

  1. Bắt đầu từ hai giá trị khởi đầu: F0=0F_0 = 0, F1=1F_1 = 1.
  2. Tiếp tục cộng hai số gần nhất: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,891, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.
  3. F11=89F_{11} = 89 và F10=55F_{10} = 55, nên F12=F11+F10=89+55=144F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55 = 144.
  4. Tỉ số F12/F11=144/89≈1.618F_{12}/F_{11} = 144/89 \approx 1.618 — đã rất gần tỉ lệ vàng φ.

Câu hỏi thường gặp

Dãy Fibonacci là gì?
Dãy Fibonacci là dãy số mà mỗi số bằng tổng hai số liền trước: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Đây là một trong những dãy số được nghiên cứu nhiều nhất, mang tên nhà toán học Leonardo xứ Pisa (Fibonacci) thế kỷ 13.
Công thức của dãy Fibonacci là gì?
Công thức truy hồi là Fn=Fn−1+Fn−2F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, với hai giá trị khởi đầu F0=0F_0 = 0 và F1=1F_1 = 1. Mỗi số sau đó chỉ đơn giản bằng tổng hai số ngay trước nó.
Dãy Fibonacci bắt đầu từ 0 hay từ 1?
Quy ước toán học chuẩn bắt đầu F0=0,F1=1F_0 = 0, F_1 = 1, cho ra 0, 1, 1, 2, 3, 5, …. Một số tài liệu cũ hoặc không chính thức bỏ số 0 đầu và bắt đầu 1, 1, 2, 3, 5, … — cả hai quy ước mô tả cùng một quy luật cộng, chỉ khác cách đánh số.
Fibonacci liên hệ với tỉ lệ vàng thế nào?
Lấy mỗi số Fibonacci chia cho số liền trước, tỉ số này càng lúc càng gần **tỉ lệ vàng** φ≈1.618034…\varphi \approx 1.618034\ldots khi nn tăng. Ví dụ 89/55≈1.61889 / 55 \approx 1.618, và tới F20/F19F_{20}/F_{19} tỉ số đã khớp φ tới vài chữ số thập phân.
Dãy Fibonacci xuất hiện ở đâu trong tự nhiên?
Các hoa văn xoắn ốc gần với tỉ lệ Fibonacci xuất hiện ở đầu hoa hướng dương, quả thông, mắt dứa và vỏ ốc anh vũ, vì cách mọc mới theo góc vàng lặp đi lặp lại tạo ra số vòng xoắn đúng bằng các số Fibonacci liên tiếp. Nó cũng xuất hiện trong cách cây phân nhánh và cách lá mọc quanh thân.
F(50) và F(100) bằng bao nhiêu?
F(50) = 12.586.269.025 và F(100) = 354.224.848.179.261.915.075. Dãy số tăng theo cấp số nhân — xấp xỉ nhân với φ ≈ 1.618 ở mỗi bước — nên số chữ số tăng rất nhanh dù quy tắc chỉ là một phép cộng đơn giản.
Lỗi thường gặp nhất khi tính số Fibonacci là gì?
Nhầm lẫn giá trị khởi đầu. Vì F0=0F_0 = 0 và F1=1F_1 = 1 đều là số nhỏ, rất dễ bắt đầu công thức truy hồi lệch một bậc — chẳng hạn coi F(1) là 0 thay vì 1 — khiến toàn bộ dãy số bị lệch một chỉ số.
Công cụ này tính được tới đâu?
Tối đa n = 500. F(500) đã có 105 chữ số, được tính chính xác bằng số nguyên lớn (BigInt) — vượt xa giới hạn mà số thực dấu phẩy động thông thường còn giữ được độ chính xác.

Công cụ liên quan