Máy Tính BCNN (Bội Chung Nhỏ Nhất)

BCNN là gì?

Bội chung nhỏ nhất (BCNN, tiếng Anh: LCM) của một tập số nguyên là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số đó.

vì 12 là bội của cả 4 và 6, và không có số dương nào nhỏ hơn làm được điều đó.

Ba cách tìm BCNN

1. Phân tích thừa số nguyên tố (lấy số mũ lớn nhất)

Phân tích mỗi số thành thừa số nguyên tố, rồi nhân các thừa số nguyên tố xuất hiện ở bất kỳ số nào, mỗi thừa số lấy số mũ lớn nhất mà nó xuất hiện.

Ví dụ — BCNN(12, 18): $12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$. Các thừa số nguyên tố liên quan là 2 và 3; lấy số mũ lớn nhất của mỗi thừa số: $2^2 \times 3^2 = 36$, nên BCNN = 36.

Ví dụ — BCNN(12, 18, 30): $12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$, $30 = 2 \times 3 \times 5$. Số mũ lớn nhất: $2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$, nên BCNN = 180.

2. Công thức qua ƯCLN

Với đúng hai số, cách nhanh nhất là bỏ qua bước phân tích thừa số:

Ví dụ — BCNN(6, 10): ƯCLN(6, 10) = 2, nên $\dfrac{6 \times 10}{2} = 30$ — BCNN = 30.

Đây cũng là cách công cụ này tìm BCNN của các số rất lớn khi phân tích thừa số sẽ quá chậm: thuật toán Euclid tìm ƯCLN rất nhanh dù số lớn cỡ nào, rồi áp dụng công thức trên là xong.

3. Liệt kê bội

Liệt kê bội của từng số cho đến khi xuất hiện số chung nhỏ nhất.

Ví dụ — BCNN(4, 6): bội của 4: 4, 8, 12…; bội của 6: 6, 12… → BCNN = 12.

Dễ hiểu, nhưng danh sách sẽ rất dài khi số lớn — công cụ này chỉ hiện cách này khi các danh sách bội đủ ngắn.

BCNN và ƯCLN khác nhau thế nào?

BCNN và ƯCLN (ước chung lớn nhất) là hai thái cực của cùng một phép so sánh thừa số nguyên tố: BCNN giữ lũy thừa lớn nhất của mọi thừa số xuất hiện, ƯCLN giữ lũy thừa nhỏ nhất của thừa số chung. Với hai số, chúng liên hệ qua:

Vậy chỉ cần biết một trong hai giá trị, giá trị còn lại chỉ cách một phép nhân hoặc chia.

Vì sao BCNN quan trọng khi làm việc với phân số?

Ứng dụng phổ biến nhất của BCNN là tìm mẫu số chung trước khi cộng hoặc trừ phân số. Để tính $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$, ta quy đồng cả hai phân số về BCNN của mẫu số: $\text{BCNN}(4, 6) = 12$, nên $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ và $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$, từ đó $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$. Mẫu số chung nhỏ nhất này chính là ý nghĩa của "MSCNN" (mẫu số chung nhỏ nhất).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 — BCNN(4, 6)

Thừa số nguyên tố: $4 = 2^2$, $6 = 2 \times 3$. Số mũ lớn nhất: $2^2 \times 3 = 12$. Công thức qua ƯCLN cũng cho cùng kết quả: ƯCLN(4, 6) = 2, nên $(4 \times 6) / 2 = 12$. BCNN = 12.

Ví dụ 2 — BCNN(12, 18, 24)

Gộp dần từng cặp: BCNN(12, 18) = 36, rồi BCNN(36, 24) = 72. BCNN = 72. (Công thức qua ƯCLN chỉ áp dụng cho hai số một lúc — với ba số trở lên, công cụ này hiện phương pháp phân tích thừa số nguyên tố thay thế.)

Ví dụ 3 — BCNN(5, 7)

5 và 7 đều là số nguyên tố và khác nhau, nên không có thừa số chung nào ngoài 1. BCNN của chúng chính là tích: BCNN = 35.

Các thuật ngữ dễ nhầm lẫn