Máy Tính Đa Giai Thừa (n!!, n!!!)

Cách dùng công cụ

Nhập n và bước (k) — k = 1 cho giai thừa thông thường n!, k = 2 cho giai thừa kép n!!, k = 3 cho n!!!, và tiếp tục tới k = 9. Công cụ hiển thị ký hiệu trực tiếp, nhân n theo bước k, và cho ra kết quả chính xác.

Đa giai thừa là gì?

Giai thừa thông thường n! nhân tất cả số nguyên từ n xuống 1. Đa giai thừa thay vào đó nhảy cách một bước cố định k mỗi lần:

Tổng quát hơn, n với k dấu chấm than sẽ nhân n, n−k, n−2k, … cho tới khi số hạng tiếp theo giảm xuống 0 hoặc âm.

Nhầm lẫn kinh điển: n!! KHÔNG phải (n!)!

Đây là nguồn gốc sai sót phổ biến nhất với ký hiệu đa giai thừa.

• $n!!$ (giai thừa kép) — giảm thẳng theo bước 2: $9!! = 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 945$.
• $(n!)!$ (giai thừa của giai thừa) — tính $n!$ trước, rồi lấy giai thừa của kết quả đó: $(9!)! = 362880!$, một số có hơn một triệu chữ số.

Hai kết quả này khác biệt rất lớn ngay cả với các giá trị nhỏ. Bất cứ khi nào thấy n!! trong công thức, hãy đọc là "giai thừa kép", không phải "áp dụng giai thừa hai lần".

n chẵn và n lẻ

Vì giai thừa kép giảm theo bước 2, tính chẵn lẻ của n quyết định các số xuất hiện trong chuỗi:

• n chẵn dừng ở 2: $8!! = 8 \times 6 \times 4 \times 2$.
• n lẻ dừng ở 1: $9!! = 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1$.

Cả hai đều theo đúng một quy tắc (trừ 2 mỗi bước); chúng chỉ khác nhau ở số hạng cuối cùng tùy theo n chẵn hay lẻ.

Đa giai thừa xuất hiện ở đâu

• Tổ hợp học. Giai thừa kép đếm số cách ghép cặp hoàn hảo — ví dụ số cách ghép cặp 2n vật thể là $(2n-1)!!$.
• Hình học. Công thức thể tích và diện tích mặt của hình cầu n chiều có chứa giai thừa kép.
• Xác suất. Khai triển tích phân Gauss (phân phối chuẩn) sinh ra các số hạng giai thừa kép.

Ví dụ minh họa — 9!! và 9!!!

Giai thừa kép ($k = 2$):

1. Bắt đầu từ 9, giảm theo bước 2: 9, 7, 5, 3, 1.
2. $9!! = 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1$
3. $9 \times 7 = 63$
4. $63 \times 5 = 315$
5. $315 \times 3 = 945$
6. $945 \times 1 = 945$

Vậy 9!! = 945.

Giai thừa bậc ba ($k = 3$):

1. Bắt đầu từ 9, giảm theo bước 3: 9, 6, 3.
2. $9!!! = 9 \times 6 \times 3$
3. $9 \times 6 = 54$
4. $54 \times 3 = 162$

Vậy 9!!! = 162.