Số 1 có phải số nguyên tố không?

Không. Số 1 chỉ có một ước (chính nó), thiếu ước thứ hai, nên 1 không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số. Số 0 cũng vậy — 0 chia hết cho mọi số nguyên.

Số 2 có phải số nguyên tố không?

Có, và 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. Mọi số chẵn khác đều chia hết cho 2 ngoài 1 và chính nó, tức có ít nhất ba ước nên là hợp số. Vì vậy 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số chẵn duy nhất.

Vì sao chỉ cần thử các ước tới căn bậc hai?

Nếu n có ước lớn hơn {n} thì nó phải ghép với một ước nhỏ hơn {n} vì tích của chúng bằng n. Nên nếu không số nguyên tố nào tới {n} chia hết n thì cũng không số nào lớn hơn chia hết, và n là số nguyên tố.

417 có phải số nguyên tố không?

Không. {417} ≈ 20.42, thử các số nguyên tố tới 20 thấy 417 ÷ 3 = 139 đúng. Vì 3 chia hết 417 nên 417 là hợp số: 417 = 3 × 139.

Số rất lớn được kiểm tra thế nào?

Số vượt quá một nghìn tỷ (10^12) quá lớn để chia thử nhanh, nên công cụ dùng phép thử Miller–Rabin xác định. Nó trả về kết luận nguyên tố hay hợp số chính xác cho mọi số tới giới hạn 15 chữ số.

Máy Tính Kiểm Tra Số Nguyên Tố

Kiểm tra một số bất kỳ là số nguyên tố hay hợp số bằng phương pháp chia thử tới căn bậc hai, kèm lời giải từng bước và số nguyên tố liền trước, liền sau.

Loading calculator…

Cách dùng công cụ

Nhập một số nguyên bất kỳ từ 0 tới 15 chữ số. Công cụ cho biết số đó là số nguyên tố, hợp số, hay không thuộc loại nào, tô màu kết luận, và với hợp số sẽ chỉ ra ước nguyên tố nhỏ nhất. Bên dưới là lời giải theo phương pháp căn bậc hai cùng số nguyên tố gần nhất ở hai phía.

Mẹo: Mẹo nhanh: nếu một số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 thì nó chia hết cho 2, và nếu tổng các chữ số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3 — nên trong nhóm này chỉ 2 và 3 là số nguyên tố.

Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1 và có đúng hai ước khác nhau: 1 và chính nó. 7 là số nguyên tố vì không có số nào giữa 1 và 7 chia hết nó. Số lớn hơn 1 mà có nhiều hơn hai ước là hợp số — ví dụ $12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$ nên 12 có các ước 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Hai số nằm ngoài cách chia này: 0 và 1 không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số. Số 1 chỉ có một ước nên không thỏa quy tắc "đúng hai ước", còn 0 chia hết cho mọi số nguyên.

Vì sao 1 không phải số nguyên tố

Nhiều người muốn coi 1 là số nguyên tố, nhưng định nghĩa cần hai ước khác nhau. 1 chia 1 bằng 1 — chỉ một ước, không phải hai. Loại bỏ 1 cũng giữ cho Định lý cơ bản của số học gọn gàng: mọi số nguyên lớn hơn 1 có một cách phân tích thừa số nguyên tố duy nhất. Nếu coi 1 là số nguyên tố, ta có thể chèn thêm các số 1 vào và tính duy nhất sẽ bị phá vỡ.

2 là số nguyên tố chẵn duy nhất

Mọi số chẵn đều chia hết cho 2. Với chính số 2, điều đó chỉ cho hai ước là 1 và 2 — đúng hai — nên 2 là số nguyên tố. Với số chẵn lớn hơn, 2 là ước thứ ba bên cạnh 1 và chính nó, nên số đó chắc chắn là hợp số. Vì thế 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số chẵn duy nhất; mọi số nguyên tố khác đều lẻ.

Phương pháp chia thử theo căn bậc hai

Để kiểm tra $n$ có nguyên tố không, bạn chỉ cần thử chia cho các số nguyên tố tới $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ :

Tính $\sqrt{n}$ .
Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $\sqrt{n}$ .
Chia $n$ cho từng số nguyên tố đó.
Nếu không số nào chia hết thì $n$ là số nguyên tố. Nếu có thì $n$ là hợp số.

Vì sao căn bậc hai là mốc dừng: các ước đi theo cặp $a \times b = n$ . Nếu cả hai đều lớn hơn $\sqrt{n}$ thì tích sẽ vượt quá $n$ — điều không thể. Vậy mọi hợp số đều có một ước không vượt $\sqrt{n}$ ; tìm được một ước là đủ kết luận hợp số.

Ví dụ mẫu — 417 có nguyên tố không?

$\sqrt{417} \approx 20.42$ .
Số nguyên tố tới 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
$417 \div 2 = 208.5$ (không); $417 \div 3 = 139$ đúng.
3 chia hết 417 nên 417 là hợp số: $417 = 3 \times 139$ .

Số rất lớn dùng phép thử Miller–Rabin

Chia thử rất nhanh với số nhỏ nhưng chậm dần khi số lớn lên. Với số vượt quá một nghìn tỷ ( $10^{12}$ ), công cụ chuyển sang phép thử Miller–Rabin — một phép kiểm tra nhanh và xác định (dùng các cơ số nhân chứng cố định) cho câu trả lời nguyên tố hay hợp số chính xác với mọi số tới giới hạn 15 chữ số, mà không cần liệt kê ước.

25 số nguyên tố nhỏ hơn 100

Có đúng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 (và 168 số nhỏ hơn 1000):

25 số nguyên tố nhỏ hơn 100
2	3	5	7	11
13	17	19	23	29
31	37	41	43	47
53	59	61	67	71
73	79	83	89	97

Số nguyên tố là "viên gạch" xây nên mọi số nguyên (Định lý cơ bản của số học) và là nền tảng của mã hóa hiện đại: nhân hai số nguyên tố lớn thì dễ, nhưng phân tích ngược tích của chúng lại cực kỳ khó.

Câu hỏi thường gặp

Số nguyên tố là gì?: Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1 và có đúng hai ước khác nhau: 1 và chính nó. 2, 3, 5, 7, 11, 13 là số nguyên tố. Số lớn hơn 1 mà có nhiều hơn hai ước là hợp số — ví dụ 6 có các ước 1, 2, 3, 6.
Số 1 có phải số nguyên tố không?: Không. Số 1 chỉ có một ước (chính nó), thiếu ước thứ hai, nên 1 không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số. Số 0 cũng vậy — 0 chia hết cho mọi số nguyên.
Số 2 có phải số nguyên tố không?: Có, và 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. Mọi số chẵn khác đều chia hết cho 2 ngoài 1 và chính nó, tức có ít nhất ba ước nên là hợp số. Vì vậy 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số chẵn duy nhất.
Vì sao chỉ cần thử các ước tới căn bậc hai?: Nếu $n$ có ước lớn hơn $\sqrt{n}$ thì nó phải ghép với một ước nhỏ hơn $\sqrt{n}$ vì tích của chúng bằng $n$ . Nên nếu không số nguyên tố nào tới $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ chia hết $n$ thì cũng không số nào lớn hơn chia hết, và $n$ là số nguyên tố.
417 có phải số nguyên tố không?: Không. $\sqrt{417} \approx 20.42$ , thử các số nguyên tố tới 20 thấy $417 \div 3 = 139$ đúng. Vì 3 chia hết 417 nên 417 là hợp số: $417 = 3 \times 139$ .
Số rất lớn được kiểm tra thế nào?: Số vượt quá một nghìn tỷ ( $10^{12}$ ) quá lớn để chia thử nhanh, nên công cụ dùng phép thử Miller–Rabin xác định. Nó trả về kết luận nguyên tố hay hợp số chính xác cho mọi số tới giới hạn 15 chữ số.