Hoàn thành bình phương nghĩa là gì?

Nghĩa là viết lại ax^2 + bx + c sao cho các số hạng chứa biến tạo thành một bình phương của nhị thức: a(x - h)^2 + k. Khi vế trái là một bình phương duy nhất, ta có thể lấy căn bậc hai hai vế và giải trực tiếp theo x.

Vì sao phải cộng thêm (b/2a)²?

Khai triển (x + b/2)^2 = x^2 + bx + (b/2)^2. Vậy x^2 + bx chỉ thiếu đúng hằng số (b/2)^2 để thành bình phương đủ — thêm nó vào chính là "hoàn thành" bình phương. Phải cộng vào cả hai vế để phương trình vẫn cân bằng.

h và k trong dạng đỉnh nghĩa là gì?

Dạng đỉnh là a(x - h)^2 + k. Điểm (h, k) chính là đỉnh của parabol y = ax^2 + bx + c — điểm thấp nhất khi a > 0, hoặc cao nhất khi a < 0. Hoàn thành bình phương là cách chuẩn để tìm điểm đó.

Hoàn thành bình phương có giống công thức nghiệm bậc hai không?

Có. Hoàn thành bình phương trên phương trình tổng quát ax^2 + bx + c = 0 rồi giải theo x cho ra đúng công thức nghiệm, x = {-b {b^2 - 4ac}}{2a}. Công thức đó chính là phương pháp này làm một lần, tổng quát, cho mọi phương trình bậc hai.

Nếu a khác 1 thì sao?

Hãy chia mọi số hạng cho a trước, để hệ số của x^2 bằng 1 — đó là bước 2 của phương pháp. Ví dụ 2x^2 - 12x + 7 = 0 trở thành x^2 - 6x + 3.5 = 0 trước khi hoàn thành bình phương.

Điều gì xảy ra khi a = 0?

Nếu a = 0 thì số hạng x^2 biến mất và phương trình trở thành bậc nhất (bx + c = 0), không còn là bậc hai — không có gì để hoàn thành bình phương. Máy tính báo trường hợp này là "không phải bậc hai"; hãy nhập a khác 0.

Máy Tính Hoàn Thành Bình Phương

Giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 bằng phương pháp hoàn thành bình phương. Xem dạng đỉnh, 9 bước giải và nghiệm chính xác.

Loading calculator…

Hoàn thành bình phương là gì

Hoàn thành bình phương là viết lại một biểu thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ sao cho các số hạng chứa biến tạo thành một nhị thức bình phương duy nhất: $a(x - h)^2 + k$ . Cách viết này gọi là dạng đỉnh, vì $(h, k)$ chính là đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ . Khi phương trình đã ở dạng này, giải $a(x-h)^2 + k = 0$ theo $x$ chỉ còn là phép tính đơn giản — không cần phân tích nhân tử.

Mẹo: Dùng hoàn thành bình phương khi một biểu thức bậc hai không phân tích nhân tử gọn được. Cách này luôn hiệu quả, và cũng chính là cách suy ra công thức nghiệm bậc hai.

Phương pháp 9 bước

Đưa phương trình về dạng $ax^2 + bx + c = 0$ .
Nếu $a \neq 1$ , chia mọi số hạng cho $a$ .
Chuyển hằng số sang vế phải.
Lấy nửa hệ số của $x$ rồi bình phương: $(b/2)^2$ .
Cộng giá trị đó vào cả hai vế.
Viết vế trái thành bình phương đủ, $(x + b/2)^2$ .
Lấy căn bậc hai hai vế — nhớ dấu $\pm$ .
Chuyển hằng số còn lại để cô lập $x$ .
Rút gọn: dấu $\pm$ cho ra hai nghiệm.

Ví dụ — a khác 1

Giải $2x^2 - 12x + 7 = 0$ .

Chia cho $a = 2$ : $x^2 - 6x + 3.5 = 0$ .
Chuyển hằng số: $x^2 - 6x = -3.5$ .
Nửa hệ số $x$ , bình phương: $(-6/2)^2 = 9$ .
Cộng 9 vào cả hai vế: $x^2 - 6x + 9 = -3.5 + 9 = 5.5$ .
Bình phương đủ: $(x - 3)^2 = 5.5$ .
Lấy căn hai vế: $x - 3 = \pm\sqrt{5.5}$ .
Cô lập $x$ : $x = 3 \pm \sqrt{5.5} \approx 5.3452$ hoặc $0.6548$ .

Dạng đỉnh là $2(x - 3)^2 - 11$ , nên đỉnh của parabol này là $(3, -11)$ — và nghiệm khớp với kết quả từ máy tính Công Thức Nghiệm Bậc Hai cho cùng phương trình.

Ví dụ — không có số hạng bậc một

Giải $x^2 - 4 = 0$ . Không có số hạng $x$ , nên các bước 3–6 trở nên đơn giản: $x^2 = 4$ , vậy $x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$ . Dạng đỉnh đơn giản là $x^2 - 4$ , với đỉnh $(0, -4)$ .

Vì sao (b/2)² hoàn thành bình phương

Khai triển $(x + b/2)^2 = x^2 + bx + (b/2)^2$ . So với $x^2 + bx$ — chỉ thiếu đúng hằng số $(b/2)^2$ . Thêm nó vào biến biểu thức thành bình phương đủ, đó chính là lý do phương pháp này gọi là "hoàn thành" bình phương.

Những lỗi thường gặp

Quên chia cho $a$ trước khi $a \neq 1$ .
Chỉ cộng $(b/2)^2$ vào một vế — phải cộng vào cả hai vế để giữ cân bằng.
Bình phương trước khi chia đôi — phải là $(b/2)^2$ , không phải $b^2/2$ .
Quên dấu $\pm$ khi lấy căn bậc hai, làm mất một trong hai nghiệm.

Dạng đỉnh và công thức nghiệm bậc hai

Dạng đỉnh $a(x - h)^2 + k$ cho trực tiếp đỉnh $(h, k)$ của parabol — hữu ích khi vẽ đồ thị, và cho các bài toán tối ưu (chiều cao lớn nhất, chi phí nhỏ nhất, v.v.). Đây cũng chính là nguồn gốc của công thức nghiệm bậc hai: hoàn thành bình phương trên phương trình tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$ rồi giải theo $x$ sẽ tái tạo lại đúng công thức, với $h = -b/(2a)$ và $k = c - b^2/(4a)$ .

Ứng dụng thực tế

Hoàn thành bình phương là con đường chuẩn để tìm đỉnh của một parabol — điểm cao nhất hoặc thấp nhất của bất cứ điều gì được mô hình bằng phương trình bậc hai: độ cao vật ném, đường cong lợi nhuận, hay điểm nhỏ nhất của hàm chi phí. Đây cũng là kỹ thuật đứng sau việc suy ra công thức tổng quát để giải mọi phương trình bậc hai.

Câu hỏi thường gặp

Hoàn thành bình phương nghĩa là gì?: Nghĩa là viết lại $ax^2 + bx + c$ sao cho các số hạng chứa biến tạo thành một bình phương của nhị thức: $a(x - h)^2 + k$ . Khi vế trái là một bình phương duy nhất, ta có thể lấy căn bậc hai hai vế và giải trực tiếp theo $x$ .
Vì sao phải cộng thêm (b/2a)²?: Khai triển $(x + b/2)^2 = x^2 + bx + (b/2)^2$ . Vậy $x^2 + bx$ chỉ thiếu đúng hằng số $(b/2)^2$ để thành bình phương đủ — thêm nó vào chính là "hoàn thành" bình phương. Phải cộng vào cả hai vế để phương trình vẫn cân bằng.
h và k trong dạng đỉnh nghĩa là gì?: Dạng đỉnh là $a(x - h)^2 + k$ . Điểm $(h, k)$ chính là đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ — điểm thấp nhất khi $a > 0$ , hoặc cao nhất khi $a < 0$ . Hoàn thành bình phương là cách chuẩn để tìm điểm đó.
Hoàn thành bình phương có giống công thức nghiệm bậc hai không?: Có. Hoàn thành bình phương trên phương trình tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$ rồi giải theo $x$ cho ra đúng công thức nghiệm, $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Công thức đó chính là phương pháp này làm một lần, tổng quát, cho mọi phương trình bậc hai.
Nếu a khác 1 thì sao?: Hãy chia mọi số hạng cho $a$ trước, để hệ số của $x^2$ bằng 1 — đó là bước 2 của phương pháp. Ví dụ $2x^2 - 12x + 7 = 0$ trở thành $x^2 - 6x + 3.5 = 0$ trước khi hoàn thành bình phương.
Điều gì xảy ra khi a = 0?: Nếu $a = 0$ thì số hạng $x^2$ biến mất và phương trình trở thành bậc nhất ( $bx + c = 0$ ), không còn là bậc hai — không có gì để hoàn thành bình phương. Máy tính báo trường hợp này là "không phải bậc hai"; hãy nhập $a$ khác 0.