Máy Tính Hiệu Hai Bình Phương

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Bất cứ khi nào có thể viết một biểu thức thành một bình phương đúng trừ đi một bình phương đúng khác, nó lập tức phân tích được thành tổng hai căn nhân với hiệu hai căn đó. Máy tính này nhận trực tiếp hai giá trị bình phương (ví dụ 25 và 16, ứng với $5^2$ và $4^2$), tìm $a=\sqrt{a^2}$ và $b=\sqrt{b^2}$, rồi hiển thị dạng đã phân tích.

Ví dụ minh họa: hai bình phương đúng

Phân tích $25 - 16$.

1. Xác định các căn: $a = \sqrt{25} = 5$, $b = \sqrt{16} = 4$.
2. Áp dụng hằng đẳng thức: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.
3. Kết quả: $25 - 16 = (5+4)(5-4)$.
4. Kiểm tra: $(5+4)(5-4) = 9 \times 1 = 9$, khớp với $25-16=9$.

Ví dụ minh họa: khi một giá trị không phải bình phương đúng

Phân tích $9 - 5$.

1. Xác định các căn: $a = \sqrt{9} = 3$ là bình phương đúng. $b = \sqrt{5}$ thì không — 5 không có căn bậc hai là số nguyên, nên vẫn giữ dưới dạng căn thức.
2. Vẫn áp dụng hằng đẳng thức: hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ đúng với mọi số thực $a$ và $b$, không chỉ số nguyên.
3. Kết quả: $9 - 5 = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$.
4. Kiểm tra: $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

Bảng tham khảo nhanh

Mẹo tính nhẩm

Hằng đẳng thức này biến một phép trừ khó thành một phép nhân dễ. $43^2 - 42^2$ khó tính trực tiếp, nhưng phân tích thành:

$43^2 - 42^2 = (43+42)(43-42) = 85 \times 1 = 85$

Bất kỳ "bình phương trừ một bình phương gần đó" nào cũng rút gọn theo cách này thành một tổng nhân với một hiệu nhỏ — một mẹo tính nhẩm kinh điển dựa hoàn toàn vào hằng đẳng thức này.

Những lỗi thường gặp

• Tưởng tổng hai bình phương cũng phân tích được tương tự. $a^2 + b^2$ không phân tích được thành nhị thức thực — sự triệt tiêu làm cho $a^2-b^2$ hoạt động chỉ xảy ra với hiệu, không bao giờ với tổng.
• Quên rút nhân tử chung trước. Một biểu thức như $4x^2 - 36$ có ước chung lớn nhất là 4 cần rút ra trước — $4(x^2-9) = 4(x+3)(x-3)$ — trước khi mẫu hiệu hai bình phương áp dụng được cho phần còn lại. Máy tính này phân tích trực tiếp hai giá trị bình phương bạn nhập; hãy tự rút nhân tử chung trước nếu có.
• Dừng lại quá sớm. Nếu kết quả vẫn còn chứa hiệu hai bình phương — như $x^4 - 1 = (x^2+1)(x^2-1)$ — nhân tử thứ hai vẫn phân tích tiếp được thành $(x+1)(x-1)$.

Chiều ngược lại của FOIL

FOIL khai triển hai nhị thức thành đa thức; máy tính này làm điều ngược lại cho trường hợp đặc biệt khi kết quả khai triển là một hiệu hai bình phương thuần túy (không có số hạng giữa). Máy tính FOIL thể hiện chiều thuận đó — bao gồm đúng ví dụ minh họa $(x+3)(x-3) = x^2-9$ mà máy tính này đảo ngược lại.

Cho hiệu đã phân tích bằng 0

Nếu $a^2 - b^2 = 0$, thì $(a+b)(a-b)=0$, nên $a=b$ hoặc $a=-b$ — hai nghiệm của một phương trình bậc hai rất đơn giản. Máy tính Công Thức Nghiệm Bậc Hai giải trường hợp tổng quát $ax^2+bx+c=0$, mà "hiệu hai bình phương bằng 0" chính là trường hợp đặc biệt với hệ số $b=0$ trong phương trình bậc hai đó.