Máy Tính Phương Trình Bậc Ba

Phương trình bậc ba

Một phương trình bậc ba có dạng $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, trong đó $a$, $b$, $c$, $d$ là các số và $a \neq 0$. Khác với phương trình bậc hai, không có một công thức đơn giản duy nhất mà đa số mọi người thuộc lòng — thay vào đó, máy tính này tìm một nghiệm trước, rồi đưa bài toán về phương trình bậc hai. Mọi phương trình bậc ba đều có đúng ba nghiệm (tính cả bội): ba số thực, hoặc một số thực cùng một cặp số phức liên hợp.

Hai chiến lược giải

Máy tính này chọn cách giải dựa vào hằng số $d$:

Dù theo cách nào, bước cuối cùng vẫn là giải một phương trình bậc hai — đúng phương trình đứng sau máy tính Công Thức Nghiệm Bậc Hai.

Cả hai chiến lược đều dựa vào việc tìm được một nghiệm hữu tỉ trước, nên máy tính này chỉ giải được các phương trình bậc ba có ít nhất một nghiệm hữu tỉ; một phương trình bậc ba bất khả quy trên tập số hữu tỉ (không có nghiệm nguyên hay phân số đơn giản) cần công thức Cardano hoặc phương pháp số, nằm ngoài phạm vi của công cụ này.

Ví dụ — ba nghiệm hữu tỉ

Giải $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$, nên $a=1$, $b=-6$, $c=11$, $d=-6$.

1. Thử nghiệm hữu tỉ: vì $d = -6 \neq 0$, thử các ước của $6$ trên ước của $1$: $x = 1$ cho $1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Tìm được.
2. Hạ bậc: chia $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ cho $(x-1)$ được $x^2 - 5x + 6$.
3. Giải phương trình bậc hai: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$, biệt thức $\Delta = 25-24=1 > 0$, cho nghiệm $x=3$ và $x=2$.
4. Ba nghiệm: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = 2$ — phân tích thành nhân tử là $(x-1)(x-2)(x-3)$.
5. Kiểm tra Vieta: $1+2+3=6=-b/a$, và $1 \times 2 \times 3 = 6 = -d/a$. Cả hai đều khớp.

Ví dụ — d = 0 (đặt x làm nhân tử)

Giải $x^3 - 4x^2 + 3x = 0$, nên $a=1$, $b=-4$, $c=3$, $d=0$.

1. Đặt x làm nhân tử: vì $d=0$, $x = 0$ là một nghiệm: $x(x^2 - 4x + 3) = 0$.
2. Giải phương trình bậc hai: $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$, biệt thức $\Delta = 16-12=4>0$, nghiệm $x=1$ và $x=3$.
3. Ba nghiệm: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = 1$.
4. Kiểm tra Vieta: $0+3+1=4=-b/a$, và $0 \times 3 \times 1 = 0 = -d/a$. Cả hai đều khớp — tích bằng đúng $0$ vì $x=0$ là một trong các nghiệm.

Ví dụ — một nghiệm thực và một cặp nghiệm phức

Giải $x^3 - 8 = 0$, nên $a=1$, $b=0$, $c=0$, $d=-8$.

1. Thử nghiệm hữu tỉ: thử các ước của $8$: $x=2$ cho $8 - 8 = 0$. Tìm được.
2. Hạ bậc: chia $x^3 - 8$ cho $(x-2)$ được $x^2 + 2x + 4$.
3. Giải phương trình bậc hai: biệt thức $\Delta = 4 - 16 = -12 < 0$, nên hai nghiệm còn lại là số phức liên hợp: $x = -1 \pm \sqrt{3}\,i$.
4. Ba nghiệm: $x_1 = 2$ (thực), $x_2 = -1+\sqrt{3}i$, $x_3=-1-\sqrt{3}i$ (một cặp số phức liên hợp).
5. Kiểm tra Vieta: $2 + (-1+\sqrt3 i) + (-1-\sqrt3 i) = 0 = -b/a$ (phần ảo triệt tiêu nhau), và $2 \times \big[(-1)^2+(\sqrt3)^2\big] = 2 \times 4 = 8 = -d/a$. Cả hai đều khớp, kể cả khi có nghiệm phức.

Công thức Vieta như một phép kiểm tra sẵn có

Với mọi phương trình bậc ba $ax^3+bx^2+cx+d=0$ có các nghiệm $x_1, x_2, x_3$, công thức Vieta liên hệ trực tiếp các nghiệm với các hệ số — không cần giải phương trình:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \qquad x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$

Máy tính này hiện cả hai hệ thức, tính thẳng từ $a$, $b$, $d$, cạnh ba nghiệm đã tìm được. Vì các hệ thức này đúng với cả nghiệm thực lẫn nghiệm phức, chúng đóng vai trò như một phép kiểm tra tính đúng đắn: nếu tổng và tích các nghiệm bạn tự tính không khớp với $-b/a$ và $-d/a$, chắc hẳn một nghiệm nào đó đã bị chép sai.

Phương trình bậc ba xuất hiện ở đâu

Phương trình bậc ba mô tả các bài toán thể tích (kích thước một hộp liên hệ qua một biến), các đường cong tăng trưởng và suy giảm bậc ba, và điểm uốn của các đường cong bậc cao hơn. Khi đã có một nghiệm của phương trình bậc ba — bằng quan sát, bằng đồ thị, hay bằng Định lý nghiệm hữu tỉ — công thức nghiệm bậc hai hoặc hoàn thành bình phương sẽ giải nốt phần còn lại.