Máy Tính Rút Gọn Căn Thức

"Rút gọn $y \cdot \sqrt[n]{x}$" nghĩa là gì

Biểu thức $y \cdot \sqrt[n]{x}$ ghép một hệ số phía trước $y$ với một căn thức: $\sqrt[n]{x}$, đọc là "căn bậc $n$ của $x$," trong đó $x$ là số bị khai căn và $n$ là chỉ số bậc. Rút gọn biểu thức này nghĩa là viết lại phần căn thức ở dạng nhỏ nhất có thể — đưa mọi nhóm trọn vẹn gồm $n$ thừa số nguyên tố giống nhau ra khỏi $x$ — rồi kết hợp mọi thứ vừa đưa ra với hệ số $y$ sẵn có:

$y \cdot \sqrt[n]{x} = y' \cdot \sqrt[n]{x'}$

trong đó $x'$ không còn nhóm trọn vẹn nào gồm $n$ thừa số nguyên tố giống nhau dưới căn, và $y'$ gộp mọi thứ vừa được đưa ra ngoài với $y$ ban đầu. Khi $n = 2$, chỉ số này được bỏ đi và căn thức chỉ viết đơn giản là $\sqrt{x}$; mọi chỉ số khác từ $3$ trở lên đều được viết rõ, ví dụ $\sqrt[3]{x}$, $\sqrt[5]{x}$.

Các bước rút gọn

Để rút gọn $3\sqrt{8}$ bằng tay:

1. Tạm gác hệ số phía trước sang một bên và rút gọn căn thức trần: $\sqrt{8}$.
2. Phân tích số bị khai căn ra thừa số nguyên tố: $8 = 2^3$.
3. Nhóm theo chỉ số bậc (ở đây là 2): một cặp trọn vẹn gồm hai số 2, còn dư một số 2 đơn lẻ.
4. Đưa cặp trọn vẹn ra ngoài, lấy căn bậc hai của nó: $2^2 \to 2$, trở thành hệ số — vậy $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
5. Nhân hệ số vừa tách ra với hệ số phía trước ban đầu: $3 \times 2 = 6$, cho kết quả cuối cùng $3\sqrt{8} = 6\sqrt{2}$.

Công cụ này hiển thị đúng cách phân tích này cho bất kỳ hệ số, số bị khai căn và chỉ số bậc nào bạn nhập vào — kể cả số bị khai căn âm, nơi dấu âm được giữ trong hệ số (chỉ số lẻ) hoặc gắn thêm "$i$" (chỉ số chẵn) trước khi hệ số phía trước nhân vào.

Quy tắc dấu chẵn/lẻ

Việc một số bị khai căn âm cho ra kết quả thực hay ảo chỉ phụ thuộc vào việc chỉ số là chẵn hay lẻ — hệ số phía trước không bao giờ làm thay đổi điều này, nó chỉ nhân vào kết quả của trường hợp tương ứng:

Chỉ số chẵn, số bị khai căn âm → kết quả ảo. Không số thực nào nâng lên lũy thừa chẵn có thể ra số âm, nên $\sqrt[n]{x}$ không có giá trị thực khi $n$ chẵn và $x < 0$. Kết quả khi đó mang đơn vị ảo $i = \sqrt{-1}$: $\sqrt{-240} = \sqrt{240} \times i = 4\sqrt{15}\,i$. Nhân với hệ số phía trước — chẳng hạn $y = 3$ — chỉ đơn giản là phóng đại nó: $3\sqrt{-240} = 12\sqrt{15}\,i$.

Chỉ số lẻ, số bị khai căn âm → kết quả thực. Lũy thừa lẻ giữ nguyên dấu của cơ số, nên mọi số bị khai căn thực đều có đúng một căn bậc n thực khi chỉ số là số lẻ, và dấu được gộp vào hệ số: $\sqrt[5]{-32} = -2$, vì $(-2)^5 = -32$ chính xác. Hệ số $3$ cho ra $3\sqrt[5]{-32} = -6$.

Lũy thừa bậc n hoàn hảo

Một số bị khai căn là lũy thừa bậc n hoàn hảo khi căn thức rút gọn hoàn toàn về một số nguyên, không còn gì dưới căn — ví dụ $\sqrt[5]{32} = 2$ chính xác, vì $2^5 = 32$. Khi đó, hệ số phía trước nhân thẳng vào một số nguyên đơn thuần, không còn dấu căn nào cả:

Dạng chính xác so với giá trị thập phân gần đúng

Đa số các số bị khai căn không phải lũy thừa bậc n hoàn hảo, nên kết quả rút gọn chính xác vẫn giữ một phần dưới dấu căn — một số vô tỷ không bao giờ kết thúc hay lặp lại dưới dạng thập phân. Công cụ này hiển thị song song hai dạng: dạng chính xác (căn thức đã rút gọn, ví dụ $6\sqrt{2}$) và giá trị thập phân gần đúng làm tròn bên dưới (ví dụ $\approx 8.485281$), để bạn dùng dạng nào phù hợp với bài toán. Một kết quả ảo (phức) không có giá trị thập phân thực, nên chỉ dạng chính xác được hiển thị cho trường hợp đó. Với căn thức trần không có hệ số và không cần bước rút gọn, xem công cụ Căn Bậc Hai (tính căn bậc hai chính xác và thập phân cho mọi số, kể cả số không nguyên).

Ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 — hệ số phía trước chỉ là 1: $\sqrt{44} = 2\sqrt{11} \approx 6.63325$, vì $44 = 2^2 \times 11$.

Ví dụ 2 — hệ số nhân với thừa số vừa tách ra: $3\sqrt{8} = 3 \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$, vì $8 = 2^3$ cho ra một cặp số 2.

Ví dụ 3 — chỉ số chẵn, số bị khai căn âm (ảo): $\sqrt{-240} = 4\sqrt{15}\,i$, vì $240 = 2^4 \times 3 \times 5$ và không số thực nào bình phương lên có thể ra số âm.

Ví dụ 4 — chỉ số lẻ, căn bậc cao hơn: $\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$, vì $54 = 2 \times 3^3$ cho ra một nhóm trọn vẹn gồm ba số 3.

Các công cụ căn thức liên quan

Cơ chế cốt lõi của công cụ này — đưa các thừa số lũy thừa bậc n hoàn hảo ra khỏi số bị khai căn bằng phân tích thừa số nguyên tố — được dùng chung với công cụ Căn Thức (một $\sqrt[n]{x}$ trần, không có hệ số phía trước, và còn nhận cả số bị khai căn thập phân), công cụ Căn Bậc Hai (chỉ số cố định là 2), và công cụ Căn Bậc Ba (chỉ số cố định là 3). Một căn thức đã rút gọn như $2\sqrt{11}$ thường xuất hiện dưới dạng số hạng căn vô tỷ trong kết quả của Công Thức Nghiệm Bậc Hai, nơi $b^2 - 4ac$ dưới dấu căn thường cần đúng kiểu rút gọn này.