Máy Tính FOIL (Nhân Hai Nhị Thức)

Phương pháp FOIL

FOIL là một mẹo ghi nhớ để nhân hai nhị thức — biểu thức có đúng hai số hạng, như $(ax+b)$ và $(cx+d)$. Các chữ cái đại diện cho bốn cặp số hạng cần nhân, theo đúng thứ tự:

Cộng cả bốn tích lại sẽ khai triển tích hai nhị thức thành một tam thức:

$(ax+b)(cx+d) = ac\,x^2 + (ad+bc)\,x + bd$

Tích Outer và tích Inner đều là bội số của $x$, nên chúng gộp lại thành một số hạng $x$ duy nhất ở giữa: $(ad+bc)x$.

Ví dụ minh họa

Nhân $(3x+2)(4x+1)$, tức $a=3$, $b=2$, $c=4$, $d=1$.

1. First: $3x \cdot 4x = 12x^2$.
2. Outer: $3x \cdot 1 = 3x$.
3. Inner: $2 \cdot 4x = 8x$.
4. Last: $2 \cdot 1 = 2$.
5. Gộp số hạng đồng dạng: $3x + 8x = 11x$.
6. Kết quả: $12x^2 + 11x + 2$.

Ví dụ với hệ số âm

Nhân $(3x-2)(4x+1)$, tức $a=3$, $b=-2$, $c=4$, $d=1$.

1. First: $3x \cdot 4x = 12x^2$.
2. Outer: $3x \cdot 1 = 3x$.
3. Inner: $-2 \cdot 4x = -8x$.
4. Last: $-2 \cdot 1 = -2$.
5. Gộp số hạng đồng dạng: $3x + (-8x) = -5x$.
6. Kết quả: $12x^2 - 5x - 2$.

Dấu của $b$ được giữ nguyên xuyên suốt các tích Inner và Last, nên theo dõi dấu cẩn thận cũng quan trọng không kém phép nhân.

Khi số hạng giữa biến mất

Nhân $(x+3)(x-3)$, tức $a=1$, $b=3$, $c=1$, $d=-3$.

1. First: $x \cdot x = x^2$.
2. Outer: $x \cdot (-3) = -3x$.
3. Inner: $3 \cdot x = 3x$.
4. Last: $3 \cdot (-3) = -9$.
5. Gộp số hạng đồng dạng: $-3x + 3x = 0$ — số hạng Outer và Inner triệt tiêu nhau.
6. Kết quả: $x^2 - 9$.

Đây chính là mẫu hiệu hai bình phương: bất cứ khi nào hai nhị thức có dạng $(p+q)(p-q)$, số hạng giữa luôn triệt tiêu, chỉ còn lại $p^2 - q^2$. Xem máy tính Hiệu Hai Bình Phương để đi theo chiều ngược lại — nhận diện và phân tích nhân tử mẫu đó.

FOIL là chiều ngược lại của phân tích nhân tử

FOIL khai triển tích hai nhị thức thành đa thức. Phân tích nhân tử làm điều ngược lại: bắt đầu từ một tam thức như $12x^2 + 11x + 2$, tìm ra hai nhị thức — $(3x+2)$ và $(4x+1)$ — nhân lại cho ra đúng tam thức đó. Hai phép toán này triệt tiêu lẫn nhau, đó là lý do kiểm tra một kết quả phân tích nhân tử đơn giản chỉ là chạy lại qua FOIL.

Vượt ra ngoài hai nhị thức

FOIL là một lối tắt chỉ áp dụng cho hai nhị thức. Nhân ba biểu thức trở lên, hoặc một nhị thức với một tam thức, vẫn dùng cùng ý tưởng nền tảng — tính chất phân phối, nhân mọi số hạng của biểu thức này với mọi số hạng của biểu thức kia — nhưng không có mẹo bốn chữ cái nào cho trường hợp đó, vì số cặp số hạng tăng lên nhanh chóng. Bốn chữ cái của FOIL tồn tại chính vì $2 \times 2 = 4$ cặp là trường hợp đáng để ghi nhớ.

Giải phương trình sau khi khai triển

Nếu bạn FOIL hai nhị thức rồi cho kết quả bằng 0, bạn có một phương trình bậc hai. Máy tính Công Thức Nghiệm Bậc Hai giải mọi phương trình $ax^2+bx+c=0$ để tìm nghiệm — một bước tiếp theo tự nhiên sau khi khai triển dạng nhân tử bằng FOIL.