Máy Tính Tích Vô Hướng

Tích vô hướng là gì

Tích vô hướng (còn gọi là scalar product) là một trong những phép toán cơ bản nhất của đại số tuyến tính. Nó lấy hai vector — các danh sách số có thứ tự, cùng độ dài — và gộp chúng thành một con số duy nhất. Khác với phép cộng hai vector (cho ra một vector khác), tích vô hướng luôn cho ra một đại lượng vô hướng.

Công thức: a · b = Σ aᵢbᵢ

Với hai vector có $n$ thành phần, $a = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ và $b = (b_1, b_2, \dots, b_n)$, tích vô hướng được tính bằng:

$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

Nói cách khác: nhân từng cặp thành phần tương ứng, rồi cộng tất cả các tích đó lại với nhau.

Tính từng bước

Lấy $a = (1, 2, 3)$ và $b = (4, 5, 6)$:

1. Nhân các thành phần thứ nhất: $1 \times 4 = 4$.
2. Nhân các thành phần thứ hai: $2 \times 5 = 10$.
3. Nhân các thành phần thứ ba: $3 \times 6 = 18$.
4. Cộng các tích lại: $4 + 10 + 18 = 32$.

Vậy $(1,2,3) \cdot (4,5,6) = 32$. Công cụ ở trên trình bày đúng cách chia bảng-rồi-cộng-tổng này với bất kỳ con số nào bạn nhập vào.

Số thành phần phải khớp nhau

Vì mỗi số hạng trong tổng cần một đối tác để ghép cặp, cả hai vector phải có cùng số thành phần. Một vector 3 số chỉ có thể tính tích vô hướng với một vector 3 số khác; ghép nó với vector 2 số hoặc 4 số sẽ để lại một số hạng không có cặp, nên phép toán không xác định. Công cụ này sẽ báo lỗi khi số thành phần không khớp, thay vì đoán ra một kết quả không đầy đủ.

Kết quả cho biết điều gì

Tích vô hướng cũng là nền tảng cho độ dài vector (magnitude): lấy tích vô hướng của một vector với chính nó rồi khai căn bậc hai sẽ ra độ dài của nó, $\lVert a \rVert = \sqrt{a \cdot a}$ — đúng phép khai căn đứng sau công cụ Căn Bậc Hai, và có liên hệ chặt chẽ với ý tưởng "luôn không âm" của công cụ Giá Trị Tuyệt Đối.

Ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 — ba thành phần: $(1,2,3) \cdot (4,5,6) = 1(4) + 2(5) + 3(6) = 4 + 10 + 18 = 32$.

Ví dụ 2 — có thành phần âm: $(2,-1) \cdot (3,4) = 2(3) + (-1)(4) = 6 - 4 = 2$.

Ví dụ 3 — số thập phân vẫn chính xác: $(1.5, 2) \cdot (2, 2) = 1.5(2) + 2(2) = 3 + 4 = 7$.

Ví dụ 4 — hai vector vuông góc: $(1,0) \cdot (0,1) = 1(0) + 0(1) = 0$, xác nhận hai vector này vuông góc với nhau.

Tích vô hướng xuất hiện ở đâu

Tích vô hướng là ý tưởng mở đầu cho đại số tuyến tính: nó là nền tảng của độ dài và khoảng cách vector, góc giữa hai hướng, phép chiếu (một vector nằm dọc theo vector khác bao nhiêu), và — trong không gian nhiều chiều — các điểm số "tương đồng" dùng khắp nơi trong học máy và tìm kiếm. Vật lý dùng nó để tính công (lực nhân vô hướng với độ dời); đồ họa máy tính dùng nó để tính ánh sáng; khoa học dữ liệu dùng nó để tính độ tương đồng cosine giữa các vector đặc trưng. Khi đã quen với việc nhân từng cặp thành phần tương ứng rồi cộng tổng lại, bạn đã nắm được nền tảng cốt lõi cho tất cả những điều trên.