Máy Tính Căn Bậc Hai

Căn bậc hai nghĩa là gì

Căn bậc hai của một số $x$ là giá trị mà khi nhân với chính nó sẽ cho ra $x$:

$\sqrt{x} = y \iff y \times y = x$

Vì $6 \times 6 = 36$, nên căn bậc hai của $36$ là $6$ — viết là $\sqrt{36} = 6$. Căn bậc hai là phép toán ngược của bình phương, giống như phép chia là phép toán ngược của phép nhân.

Căn chính: vì sao √36 = 6, không phải −6

Cả $6$ và $-6$ đều bình phương ra $36$, vì $(-6) \times (-6) = 36$ cũng đúng. Nhưng ký hiệu dấu căn theo quy ước luôn trả về căn không âm, gọi là căn chính. Vậy $\sqrt{36} = 6$ theo quy ước — nếu bài toán cần cả hai nghiệm, chúng được viết rõ ràng là $\pm\sqrt{36} = \pm 6$. Công cụ này, giống như mọi ký hiệu căn bậc hai khác, luôn hiển thị căn chính (không âm) với số đầu vào dương.

Số chính phương và căn thức rút gọn

Số chính phương là số nguyên bằng bình phương của một số nguyên khác — $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, \ldots$ Căn bậc hai của các số này ra đúng một số nguyên:

Đa số các số không phải số chính phương, nên căn bậc hai của chúng là số vô tỷ — một số thập phân vô hạn không lặp lại. Thay vì cắt ngắn số thập phân đó, giá trị chính xác được viết dưới dạng căn thức rút gọn: một hệ số nguyên nhân với căn nhỏ nhất có thể. Ví dụ, $\sqrt{44} = 2\sqrt{11}$, vì $44 = 4 \times 11$ và $\sqrt{4} = 2$ có thể đưa ra ngoài dấu căn, còn lại $11$ — không còn thừa số chính phương nào để rút gọn tiếp.

Các bước rút gọn một căn thức

Để rút gọn $\sqrt{72}$ bằng tay:

1. Phân tích ra thừa số nguyên tố: $72 = 2^3 \times 3^2$.
2. Nhóm thành từng cặp: $3^2$ là một cặp trọn vẹn; $2^3$ có một cặp số 2 trọn vẹn ($2^2$) và dư lại một số $2$.
3. Đưa từng cặp ra ngoài dưới dạng căn bậc hai của nó: $2^2 \to 2$ và $3^2 \to 3$, nhân với nhau thành hệ số: $2 \times 3 = 6$.
4. Giữ lại thừa số dư dưới dấu căn: số $2$ dư lại vẫn ở trong căn, cho ra $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

Công cụ này hiển thị đúng cách phân tích thừa số nguyên tố này cho bất kỳ số nào bạn nhập vào.

Số âm và đơn vị ảo i

Không có số thực nào bình phương ra một giá trị âm, vì âm nhân âm luôn ra dương. Vậy căn bậc hai của một số âm không phải là số thực — đó là một số ảo. Đơn vị ảo $i$ được định nghĩa là $i = \sqrt{-1}$, nhờ đó bất kỳ căn bậc hai của số âm nào cũng viết được chính xác:

$\sqrt{-9} = \sqrt{9} \times \sqrt{-1} = 3i$

Các quy tắc rút gọn vẫn áp dụng cho phần dương trước khi gắn $i$ vào — ví dụ $\sqrt{-8} = 2\sqrt{2}\,i$, vì $\sqrt{8}$ được rút gọn thành $2\sqrt{2}$ trước.

Phép toán ngược: bình phương

Lấy căn bậc hai và bình phương là hai phép toán ngược nhau: $(\sqrt{x})^2 = x$ với $x \geq 0$. Nếu $\sqrt{y} = x$, thì $x^2 = y$ — nên $\sqrt{49} = 7$ và $7^2 = 49$ là cùng một sự thật, chỉ đọc theo hai chiều ngược nhau. Dùng công cụ Bình Phương để tính $x^2$ trực tiếp.

Ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 — số chính phương: $\sqrt{9} = 3$, chính xác, vì $3 \times 3 = 9$.

Ví dụ 2 — căn thức rút gọn: $\sqrt{44} = 2\sqrt{11} \approx 6.63325$, vì $44 = 4 \times 11$.

Ví dụ 3 — số âm: $\sqrt{-9} = 3i$, một kết quả ảo, vì không số thực nào bình phương ra $-9$.

Ví dụ 4 — đã rút gọn sẵn: $\sqrt{2} \approx 1.414214$ vẫn giữ nguyên $\sqrt{2}$ — vì 2 không có thừa số chính phương nào để rút ra.

Căn bậc hai xuất hiện ở đâu

Căn bậc hai xuất hiện khắp nơi trong hình học (định lý Pythagoras, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$), vật lý (thời gian rơi tự do, điện áp hiệu dụng RMS), thống kê (độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai), và tài chính (tốc độ tăng trưởng kép hàng năm). Bình phương — phép toán ngược — phổ biến đến mức có công cụ Bình Phương riêng, còn các căn bậc cao hơn 2 được xử lý bởi công cụ Căn Bậc Ba và Căn Bậc N tổng quát.