Máy Tính Căn Bậc Bốn

Căn bậc bốn nghĩa là gì

Căn bậc bốn của một số $x$ là giá trị mà khi nhân với chính nó bốn lần sẽ cho ra $x$:

$\sqrt[4]{x} = y \iff y \times y \times y \times y = x$

Vì $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$, nên căn bậc bốn của $81$ là $3$ — viết là $\sqrt[4]{81} = 3$. Căn bậc bốn cũng có thể xem như một căn bậc hai lồng bên trong một căn bậc hai khác: $\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$, vì lấy căn bậc hai hai lần tương đương chia số mũ cho $2$ hai lần, tức chia cho $4$.

Căn chính: vì sao ⁴√81 = 3, không phải −3

Cả $3$ và $-3$ khi lũy thừa bốn đều bằng $81$, vì $(-3)^4 = (-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3) = 81$ cũng đúng. Nhưng ký hiệu dấu căn theo quy ước luôn trả về căn không âm, gọi là căn chính bậc bốn. Vậy $\sqrt[4]{81} = 3$ theo quy ước — nếu bài toán cần cả hai căn bậc bốn thực, chúng được viết rõ ràng là $\pm\sqrt[4]{81} = \pm 3$. Công cụ này, giống như mọi ký hiệu căn bậc bốn khác, luôn hiển thị căn chính (không âm) với số đầu vào dương.

Số lũy thừa bốn hoàn hảo và căn thức rút gọn

Số lũy thừa bốn hoàn hảo là số nguyên bằng lũy thừa bốn của một số nguyên khác — $1, 16, 81, 256, 625, 1296, \ldots$ Căn bậc bốn của các số này ra đúng một số nguyên:

Đa số các số không phải số lũy thừa bốn hoàn hảo, nên căn bậc bốn của chúng là số vô tỷ — một số thập phân vô hạn không lặp lại. Thay vì cắt ngắn số thập phân đó, giá trị chính xác được viết dưới dạng căn thức rút gọn: một hệ số nguyên nhân với căn nhỏ nhất có thể. Ví dụ, $\sqrt[4]{48} = 2\sqrt[4]{3}$, vì $48 = 16 \times 3$ và $\sqrt[4]{16} = 2$ có thể đưa ra ngoài dấu căn, còn lại $3$ — không còn thừa số lũy thừa bốn nào để rút gọn tiếp.

Các bước rút gọn một căn thức

Để rút gọn $\sqrt[4]{48}$ bằng tay:

1. Phân tích ra thừa số nguyên tố: $48 = 2^4 \times 3$.
2. Nhóm thành từng nhóm bốn: $2^4$ là một nhóm bốn trọn vẹn; số $3$ đơn lẻ không có nhóm để ghép.
3. Đưa từng nhóm bốn ra ngoài dưới dạng căn bậc bốn của nó: $2^4 \to 2$, trở thành hệ số.
4. Giữ lại thừa số dư dưới dấu căn: số $3$ dư lại vẫn ở trong căn, cho ra $\sqrt[4]{48} = 2\sqrt[4]{3}$.

Công cụ này hiển thị đúng cách phân tích thừa số nguyên tố này cho bất kỳ số nào bạn nhập vào.

Số âm và đơn vị ảo i

Không có số thực nào lũy thừa bốn ra một giá trị âm, vì số mũ chẵn luôn cho kết quả không âm. Vậy căn bậc bốn của một số âm không phải là số thực — giống như căn bậc hai, đó là một số phức. Đơn vị ảo $i$ được định nghĩa là $i = \sqrt{-1}$, nhờ đó bất kỳ căn bậc bốn của số âm nào cũng viết được chính xác:

$\sqrt[4]{-16} = \sqrt[4]{16} \times \sqrt[4]{-1} = 2i$

Các quy tắc rút gọn vẫn áp dụng cho phần dương trước khi gắn $i$ vào — ví dụ $\sqrt[4]{-48} = 2\sqrt[4]{3}\,i$, vì $\sqrt[4]{48}$ được rút gọn thành $2\sqrt[4]{3}$ trước. Khác với kết quả thực, một căn bậc bốn phức không có một số thập phân gần đúng thực duy nhất nào, nên công cụ này chỉ hiển thị dạng chính xác cho số âm.

Phép toán ngược: lũy thừa bốn

Lấy căn bậc bốn và lũy thừa bốn là hai phép toán ngược nhau: $(\sqrt[4]{x})^4 = x$ với $x \geq 0$. Nếu $\sqrt[4]{y} = x$, thì $x^4 = y$ — nên $\sqrt[4]{625} = 5$ và $5^4 = 625$ là cùng một sự thật, chỉ đọc theo hai chiều ngược nhau. Dùng công cụ Lũy Thừa để tính $x^4$ trực tiếp.

Ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 — số lũy thừa bốn hoàn hảo: $\sqrt[4]{16} = 2$, chính xác, vì $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.

Ví dụ 2 — căn thức rút gọn: $\sqrt[4]{48} = 2\sqrt[4]{3} \approx 2.632148$, vì $48 = 16 \times 3$.

Ví dụ 3 — số âm: $\sqrt[4]{-16} = 2i$, một kết quả phức, vì không số thực nào lũy thừa bốn ra $-16$.

Ví dụ 4 — đã rút gọn sẵn: $\sqrt[4]{3} \approx 1.316074$ vẫn giữ nguyên $\sqrt[4]{3}$ — vì 3 không có thừa số lũy thừa bốn nào để rút ra.

Căn bậc bốn xuất hiện ở đâu

Căn bậc bốn xuất hiện trong các công thức thống kê và vật lý liên quan đến quan hệ lũy thừa bốn (như một số định luật bức xạ và khuếch tán), và trong hình học khi đảo ngược một quan hệ tỷ lệ bậc bốn về dạng tuyến tính. Đây cũng là bước tiếp theo tự nhiên sau căn bậc hai và căn bậc ba trong quy luật chung của căn bậc $n$ — xem công cụ Căn Bậc Hai cho trường hợp bậc chẵn $n=2$, nơi số âm cũng cho ra kết quả phức thay vì thực, và công cụ Căn Thức Tổng Quát cho bất kỳ bậc nào.