Máy Tính Khoảng Cách Hai Điểm Trong Không Gian

Công thức khoảng cách 3D

Khoảng cách giữa hai điểm $(x_1, y_1, z_1)$ và $(x_2, y_2, z_2)$ trong không gian là:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Đây là định lý Pythagore áp dụng hai lần. Đầu tiên, chiếu cả hai điểm xuống mặt phẳng $xy$: hiệu hoành độ $\Delta x = x_2 - x_1$ và hiệu tung độ $\Delta y = y_2 - y_1$ tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền là khoảng cách phẳng $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$. Tiếp theo, khoảng cách phẳng đó cùng với hiệu độ cao $\Delta z = z_2 - z_1$ tạo thành một tam giác vuông thứ hai — cạnh huyền của nó chính là khoảng cách 3D đầy đủ.

Các bước tính

Để tìm khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:

1. Trừ hoành độ: $\Delta x = x_2 - x_1$.
2. Trừ tung độ: $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. Trừ cao độ: $\Delta z = z_2 - z_1$.
4. Bình phương cả ba hiệu rồi cộng lại: $\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2$.
5. Lấy căn bậc hai của tổng đó — rút gọn thành căn thức nhỏ hơn nếu có thể, hoặc làm tròn thành giá trị thập phân gần đúng.

Ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 — kết quả vô tỷ, không có thừa số chính phương nào để tách ra: với $(7,4,3)$ và $(17,6,2)$, $\Delta x = 10$, $\Delta y = 2$, $\Delta z = -1$, nên $d = \sqrt{10^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{100+4+1} = \sqrt{105} \approx 10.2470$.

Ví dụ 2 — một kết quả vô tỷ khác, không rút gọn được: với $(5,6,2)$ và $(-7,11,-13)$, $\Delta x = -12$, $\Delta y = 5$, $\Delta z = -15$, nên $d = \sqrt{(-12)^2+5^2+(-15)^2} = \sqrt{144+25+225} = \sqrt{394} \approx 19.8494$.

Ví dụ 3 — tổng bình phương là số chính phương, kết quả nguyên chính xác: với $(0,0,0)$ và $(1,2,2)$, $\Delta x = 1$, $\Delta y = 2$, $\Delta z = 2$, nên $d = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3$ chính xác.

Ví dụ 4 — hai điểm trùng nhau: hai điểm có cùng tọa độ $x$, $y$, $z$ thì cách nhau khoảng cách bằng $0$ — mọi hiệu đều là $0$, nên $d = \sqrt{0} = 0$.

Dạng chính xác so với giá trị thập phân gần đúng

Vì phần lớn các cặp tọa độ không cách nhau đúng một số nguyên đơn vị, khoảng cách 3D chính xác thường là một số vô tỷ — không bao giờ kết thúc hay lặp lại dưới dạng thập phân. Công cụ này hiển thị cả hai dạng: căn thức rút gọn chính xác (ví dụ $\sqrt{105}$), rút gọn theo cùng cách công cụ Rút Gọn Căn Thức đưa thừa số chính phương ra khỏi số bị khai căn, và giá trị thập phân gần đúng làm tròn bên dưới (ví dụ $\approx 10.246951$) để dùng dạng nào phù hợp với bài toán.

Công cụ liên quan

Công cụ này là mở rộng trực tiếp trong không gian 3 chiều của Khoảng Cách Giữa Hai Điểm, vốn tính cùng loại khoảng cách trên mặt phẳng (bỏ tọa độ $z$ thì hai công thức trùng khớp hoàn toàn). Nó cũng dùng chung công thức với đường chéo không gian của công cụ Hình Hộp Chữ Nhật — khoảng cách giữa hai đỉnh đối diện của hình hộp là $\sqrt{l^2+w^2+h^2}$, cùng biểu thức với $l$, $w$, $h$ thay cho $|\Delta x|$, $|\Delta y|$, $|\Delta z|$. Quan hệ tam giác vuông nền tảng đến từ công cụ Định Lý Pythagore, được áp dụng hai lần ở đây thay vì một lần. Cùng hai điểm đó cũng xác định một Trung Điểm — điểm nằm chính giữa chúng trong không gian.