CalConverters

Máy Tính Hàm Lượng Giác Ngược (arcsin, arccos, arctan)

Tìm góc từ giá trị sin, cos, tan, cotang, sec, cosec — arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec, arccsc theo độ, radian, và bội số π chính xác.

Loading calculator…

Tỉ số → góc: chiều ngược của hàm lượng giác

Hàm lượng giác nhận một góc và trả về một tỉ số: sin⁡30°=0.5\sin 30° = 0.5. Hàm lượng giác ngược chạy ngược chiều đó — nhận tỉ số và trả về góc. Nói cách khác, nếu sin⁡θ=x\sin\theta = x thì:

θ=arcsin⁡x  (=sin⁡−1x)\theta = \arcsin x \; (= \sin^{-1}x)

Cả sáu hàm đều theo cùng quy luật: arccos⁡\arccos, arctan⁡\arctan, \arccot\arccot, \arcsec\arcsec, \arccsc\arccsc mỗi hàm đảo ngược lại hàm lượng giác tương ứng của nó.

Mẹo: sin⁡−1x\sin^{-1}x KHÔNG phải là 1/sin⁡x1/\sin x. Số "−1" ở đây là ký hiệu hàm số (như f−1f^{-1} nghĩa là "hàm ngược của f"), không phải số mũ. Nghịch đảo 1/sin⁡x1/\sin x đã có tên riêng: csc⁡x\csc x. Nhầm hai cái này là lỗi phổ biến nhất về hàm lượng giác ngược.

Sáu hàm ngược và khoảng chính (principal range)

Vì sin, cos và các hàm còn lại đều tuần hoàn — sin⁡30°=sin⁡150°=0.5\sin 30° = \sin 150° = 0.5 — một hàm ngược buộc phải chọn đúng một góc để trả về, nếu không nó sẽ không còn là một hàm số nữa. Mỗi hàm bị giới hạn trong một khoảng chính:

Hàm ngượcMiền của xKhoảng chính của θ
arcsin x−1 ≤ x ≤ 1−90° đến 90°
arccos x−1 ≤ x ≤ 10° đến 180°
arctan xmọi số thực−90° đến 90° (không kể biên)
arccot xmọi số thực−90° đến 90° (không kể biên)
arcsec x|x| ≥ 10° đến 180° (θ ≠ 90°)
arccsc x|x| ≥ 1−90° đến 90° (θ ≠ 0°)

Vậy dù sin 150° = 0.5 là đúng, arcsin(0.5) vẫn báo 30°, không phải 150° — vì 30° là đại diện duy nhất nằm trong khoảng chính của arcsin.

Ví dụ minh họa

arcsin⁡(0.5)=30°=π6 rad\arcsin(0.5) = 30° = \frac{\pi}{6} \text{ rad}

arccos⁡(0.5)=60°=π3 rad\arccos(0.5) = 60° = \frac{\pi}{3} \text{ rad}

arctan⁡(1)=45°=π4 rad\arctan(1) = 45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad}

arccos⁡(−1)=180°=π rad\arccos(-1) = 180° = \pi \text{ rad}

Mỗi ví dụ trên đều rơi vào góc đặc biệt (bội của 30° hoặc 45°), nên công cụ báo cả số đo độ chính xác lẫn phân số π chính xác, bên cạnh giá trị radian thập phân — không chỉ là số gần đúng.

Vì sao một số giá trị không có đáp án (điều kiện xác định)

Sin và cos của mọi góc thực đều nằm trong [−1,1][-1, 1] — tọa độ y và x trên đường tròn đơn vị không bao giờ vượt ra ngoài khoảng đó. Điều này có nghĩa:

  • arcsin(2) và arccos(-1.5) không có đáp án thực — không góc nào có sin hay cos bằng 2 hay −1.5.
  • arcsec(0.5) và arccsc(0.3) cũng không có đáp án, vì lý do đối xứng: sec⁡θ=1/cos⁡θ\sec\theta = 1/\cos\theta và csc⁡θ=1/sin⁡θ\csc\theta = 1/\sin\theta là nghịch đảo của các số trong [−1,1][-1,1], nên chúng không bao giờ nằm hẳn giữa −1 và 1. arcsec/arccsc chỉ nhận ∣x∣≥1|x| \ge 1.
  • arctan và arccot không có khoảng trống như vậy — tang và cotang nhận mọi giá trị thực, nên x nào cũng hợp lệ.
Mẹo: arcsin/arccos và arcsec/arccsc chia trục số thành hai nửa bù nhau: một cặp chỉ nhận ∣x∣≤1|x| \le 1, cặp kia chỉ nhận ∣x∣≥1|x| \ge 1. Gộp lại, chúng phủ hết mọi số thực, chỉ chung nhau đúng tại ranh giới ±1.

Đọc sơ đồ đường tròn đơn vị

Sơ đồ tô đậm khoảng chính của hàm đang chọn bằng một cung màu trên đường tròn — "vùng cho phép" mà đáp án phải nằm trong đó — rồi vẽ điểm cuối của góc θ đã giải và một cung nhỏ từ trục hoành dương tới θ. Với arcsin, vùng tô đậm là nửa bên phải đường tròn (−90° đến 90°); với arccos, đó là nửa trên (0° đến 180°) — khớp với bảng ở trên.

Những lỗi thường gặp

  • Nhầm sin⁡−1x\sin^{-1}x với 1/sin⁡x1/\sin x. Đây là hai phép toán hoàn toàn khác nhau — một cái trả về góc, cái kia trả về csc⁡x\csc x.
  • Mong đợi nhiều đáp án. arcsin, arccos, v.v. luôn chỉ trả về đúng một góc (góc chính), dù có vô số góc cùng chiều (coterminal) chia sẻ cùng tỉ số đó.
  • Nhập giá trị ngoài miền xác định, như arcsin(2) hay arcsec(0.5) — những giá trị này đơn giản là không có đáp án thực.
  • Quên đơn vị của đáp án. Kết quả chính của công cụ này luôn theo độ; radian và phân số π chính xác (nếu có) hiển thị kèm theo.

Ứng dụng thực tế

  • Giải tam giác — Định Lý Sin và Tam Giác Vuông đều cần một bước lượng giác ngược khi biết hai cạnh nhưng muốn tìm góc.
  • Định vị và trắc địa — tìm phương vị hay góc nâng từ độ dốc hay tỉ số khoảng cách đo được.
  • Đồ họa và robot — chuyển các thành phần của một vector hướng trở lại thành góc quay.

Công cụ này là chiều ngược của Hàm Lượng Giác (góc → tỉ số qua đường tròn đơn vị) và bổ trợ cho Tỉ Số Lượng Giác (SOH-CAH-TOA từ hai cạnh tam giác vuông) — cả ba đều dùng chung một engine sáu hàm số.

Câu hỏi thường gặp

Hàm lượng giác ngược dùng để làm gì?
Hàm lượng giác đi từ góc → tỉ số (ví dụ sin⁡30°=0.5\sin 30° = 0.5). Hàm ngược đi chiều ngược lại, tỉ số → góc: arcsin⁡(0.5)=30°\arcsin(0.5) = 30°. Nếu sin⁡θ=x\sin\theta = x thì θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x (cũng viết là sin⁡−1x\sin^{-1}x).
sin⁻¹x có phải là 1/sin x không?
Không — đây là nhầm lẫn phổ biến nhất về hàm lượng giác ngược. sin⁡−1x\sin^{-1}x là HÀM NGƯỢC (trả về một góc). 1/sin⁡x1/\sin x là NGHỊCH ĐẢO (một tỉ số), và nó đã có tên riêng: csc⁡x\csc x. Số "-1" trong sin⁡−1\sin^{-1} là ký hiệu hàm số, không phải số mũ.
Vì sao arcsin chỉ trả về một góc, trong khi sin 30° = sin 150°?
Vì hàm sin tuần hoàn — vô số góc có cùng giá trị sin. Để arcsin là một hàm số thật sự (một đầu vào → một đầu ra), nó bị giới hạn trong "khoảng chính" từ −90° đến 90°. Trong mọi góc có sin θ = 0.5, chỉ 30° nằm trong khoảng đó, nên arcsin(0.5) = 30°, không phải 150°.
Vì sao arcsin(2) không có nghiệm?
Vì sin θ (và cos θ) không bao giờ vượt quá 1 hay nhỏ hơn −1 với bất kỳ góc thực nào — tọa độ y trên đường tròn đơn vị luôn nằm trong [−1, 1]. Không có góc nào có sin bằng 2, nên arcsin(2) không có đáp án thực.
Miền xác định của arcsec và arccsc là gì?
Ngược lại với arcsin/arccos: vì sec θ = 1/cos θ và csc θ = 1/sin θ không bao giờ nằm hẳn giữa −1 và 1 (nghịch đảo của một số nhỏ hơn 1 luôn lớn hơn 1 về độ lớn), arcsec và arccsc chỉ nhận |x| ≥ 1 — đúng khoảng mà arcsin/arccos không phủ tới.
arctan và arccot có nhận mọi số không?
Có — tan θ và cotang θ nhận mọi giá trị thực (chúng tiến tới ±∞ gần điểm không xác định thay vì bị giới hạn như sin/cos), nên arctan(x) và arccot(x) xác định với mọi số thực x, không giới hạn miền.
Đổi kết quả sang radian hoặc bội số π như thế nào?
Nhân số đo độ với π/180 để ra radian — ví dụ 30° × π/180 = π/6 rad ≈ 0.5236. Công cụ này hiển thị cả ba dạng (độ, radian, và phân số π chính xác khi góc là góc đặc biệt) nên không cần tự quy đổi.
Công cụ này khác gì với Hàm Lượng Giác (T02)?
Hàm Lượng Giác đi từ góc → tỉ số (nhập 30°, ra sin/cos/tan/…). Công cụ này đi chiều ngược lại, tỉ số → góc (nhập 0.5, ra góc có sin bằng 0.5). Hai công cụ là nghịch đảo chính xác của nhau với giá trị nằm trong miền hợp lệ.

Công cụ liên quan