Máy Tính Hàm Lượng Giác (sin, cos, tan)

Sáu hàm số, từ đường tròn đơn vị

Vẽ một đường tròn bán kính 1 quanh gốc tọa độ. Với góc $\theta$ đo từ trục hoành dương, tia của góc đó cắt đường tròn tại điểm có tọa độ:

$\cos\theta = x, \qquad \sin\theta = y, \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$

Ba hàm còn lại đơn giản là nghịch đảo:

$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}, \qquad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$

Độ, radian, và bội số π

Công cụ này nhận góc theo ba đơn vị:

Công thức đổi độ sang radian (deg là số đo theo độ, rad là số đo theo radian):

$\text{rad} = \text{deg} \times \frac{\pi}{180}, \qquad \text{deg} = \text{rad} \times \frac{180}{\pi}$

Vậy 180° = π radian, 90° = π/2, 45° = π/4.

Ví dụ minh họa: 30°

$\sin 30° = \frac12 = 0.5, \qquad \cos 30° = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0.866, \qquad \tan 30° = \frac{\sqrt3}{3} \approx 0.577$

$\csc 30° = 2, \qquad \sec 30° = \frac{2\sqrt3}{3} \approx 1.155, \qquad \cot 30° = \sqrt3 \approx 1.732$

Góc π/6 cho đúng kết quả này — nhập 1/6 với đơn vị là "bội số π".

Giá trị đúng tại các góc đặc biệt

Mọi bội của 30° hoặc 45° ở bất kỳ góc phần tư nào đều quy về một trong năm dòng trên, kèm dấu theo góc phần tư (xem bên dưới). Góc khác chỉ có giá trị gần đúng — không có dạng căn thức đơn giản hơn.

Khi nào một hàm không xác định

$\tan\theta$ và $\sec\theta$ chia cho $\cos\theta$, nên không xác định ở nơi $\cos\theta = 0$ — tại 90°, 270°, và mọi bội lẻ của 90°. $\cot\theta$ và $\csc\theta$ chia cho $\sin\theta$, không xác định tại 0°, 180°, 360°, và mọi bội của 180°.

Đây là đặc điểm thật sự của hàm số, không phải lỗi nhập liệu — công cụ chỉ báo "không xác định" đúng cho các hàm chia cho 0 tại góc đó, còn bốn hàm kia vẫn có giá trị bình thường.

Tính tuần hoàn và dấu (ASTC)

• Chu kỳ: sin, cos, sec, csc tuần hoàn 360° (2π); tan, cot tuần hoàn 180° (π).
• Dấu theo góc phần tư — quy tắc "All Students Take Calculus": góc phần tư I tất cả sáu hàm dương; II chỉ sin (và csc) dương; III chỉ tan (và cot) dương; IV chỉ cos (và sec) dương.

Ví dụ sin 210° = -1/2: 210° nằm ở góc phần tư III (chỉ tan/cot dương ở đó), nên sin đổi dấu âm so với góc tham chiếu 30° ở góc phần tư I.

Những lỗi thường gặp

• Sai chế độ góc. Nhập 30 khi đơn vị đang là radian sẽ tính sin/cos/tan của 30 radian (hơn 1700°), không phải 30°.
• Gọi tan hoặc sec tại 90°. Hai hàm này thực sự không có giá trị ở đó — hãy kiểm tra kết quả "không xác định" thay vì mong đợi một số rất lớn.
• Quên đổi bội số π. 2 ở chế độ bội π nghĩa là 2π (360°), không phải góc 2°.

Ứng dụng thực tế

• Dao động và sóng — âm thanh, ánh sáng, và tín hiệu điện xoay chiều đều được mô hình hóa bằng sin/cos theo thời gian.
• Quay và đồ họa — mọi phép quay hay tính góc trong không gian 2D cuối cùng đều gọi đến sáu hàm này.
• Giải tam giác bất kỳ — Định Lý Cos và Định Lý Sin mở rộng lượng giác tam giác vuông cho mọi tam giác, dù nhọn hay tù.

Công cụ này mở rộng Tỉ Số Lượng Giác (SOH-CAH-TOA, giới hạn 0°–90° từ hai cạnh tam giác) ra mọi góc nhờ đường tròn đơn vị. Nó là bạn đồng hành tự nhiên của Tam Giác Vuông, công cụ giải trực tiếp cạnh và góc của một tam giác vuông đầy đủ.