Biết hai thừa số thì giải thế nào?

Nhân hai số để lấy ô trên, cộng hai số để lấy ô dưới. Nếu A = 6 và B = -4 thì P = 6 × (-4) = -24 và S = 6 + (-4) = 2.

Biết tích và tổng thì tìm hai thừa số ra sao?

Hai thừa số A và B là nghiệm của t^2 - S\,t + P = 0, nên t = {S {S^2 - 4P}}{2}. Với P = -24, S = 2: biệt thức là 2^2 - 4(-24) = 100, {100} = 10, cho t = {2 10}{2} là 6 hoặc -4.

Vì sao nhập tích và tổng thập phân lại không giải được?

Ở chiều Tích và Tổng, công cụ chỉ trả về thừa số nguyên, mà chúng chỉ tồn tại khi S^2 - 4P là số chính phương. Tích hoặc tổng thập phân gần như không bao giờ cho cặp số nguyên đẹp, nên công cụ báo không có nghiệm. Muốn nhân số thập phân, hãy chuyển sang chiều Biết A và B.

Bài toán kim cương liên hệ gì với phân tích tam thức?

Tìm hai số có tích P và tổng S chính là bước phân tích x^2 + Sx + P = (x + A)(x + B). Ví dụ P = -24, S = 2 cho x^2 + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4).

Mỗi góc của kim cương chứa gì?

Tích ở trên, tổng ở dưới, hai thừa số ở trái và phải. Nhân hai số hai bên ra ô trên; cộng chúng ra ô dưới.

Giải Bài Toán Kim Cương (Diamond Problem)

Giải bài toán kim cương trong đại số — nhập hai thừa số để tìm tích và tổng, hoặc nhập tích và tổng để tìm hai thừa số có tích và tổng đúng như vậy.

Loading calculator…

Cách dùng công cụ

Chọn chiều bằng nút gạt, rồi điền hai ô bạn đã biết:

Biết A & B — nhập hai thừa số ở trái và phải. Công cụ nhân chúng thành Tích ở trên và cộng chúng thành Tổng ở dưới. Chiều này chấp nhận số thập phân như 2.5 và phân số như 1/2.
Biết Tích & Tổng — nhập Tích ở trên và Tổng ở dưới. Công cụ tìm hai thừa số $A$ và $B$ có tích bằng tích và tổng bằng tổng đã cho.

Mẹo: Bài toán kim cương chính là bước "tìm hai số có tích và tổng cho trước" mà bạn dùng khi phân tích phương trình bậc hai — luyện ở đây sẽ giúp phân tích tam thức nhanh hơn nhiều.

Bài toán kim cương là gì?

Bài toán kim cương là sơ đồ 4 ô xếp thành hình thoi. Mỗi góc có một vai trò:

Trên — Tích $P$
Dưới — Tổng $S$
Trái và phải — hai thừa số $A$ và $B$

Hai quan hệ nối các góc lại với nhau là

P = A \times B, \qquad S = A + B.

Vì có hai quan hệ và bốn số, biết bất kỳ hai ô nào là đủ để tìm ra hai ô còn lại.

Hai chiều giải

Chiều xuôi (dễ) — đã biết hai thừa số. Nhân để ra ô trên, cộng để ra ô dưới. Với $A = 6$ và $B = -4$ :

P = 6 \times (-4) = -24, \qquad S = 6 + (-4) = 2.

Chiều ngược (phần thú vị) — đã biết tích và tổng. Khi đó $A$ và $B$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

t^2 - S\,t + P = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4P}}{2}.

Với $P = -24$ và $S = 2$ , ta có $t^2 - 2t - 24 = 0$ , biệt thức $2^2 - 4(-24) = 100$ . Vì $\sqrt{100} = 10$ nên

t = \frac{2 \pm 10}{2},

tức $t = 6$ hoặc $t = -4$ — cặp số có tích $-24$ và tổng $2$ .

Liên hệ với phân tích tam thức bậc hai

Tìm hai số có tích và tổng cho trước chính là bước phân tích một tam thức bậc hai:

x^2 + Sx + P = (x + A)(x + B).

Ví dụ ở trên trở thành

x^2 + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4).

Đó là lý do phương pháp kim cương được dạy kèm với phân tích đa thức — sơ đồ kim cương chính là bước phân tích, được vẽ thành hình.

Vì sao tích và tổng thập phân không cho nghiệm "đẹp"

Ở chiều Biết Tích & Tổng, công cụ chỉ báo các thừa số nguyên. Chúng chỉ tồn tại khi biệt thức $S^2 - 4P$ là số chính phương. Tích hoặc tổng thập phân gần như không thỏa điều đó, nên công cụ báo không có cặp số nguyên thay vì hiển thị một nghiệm vô tỉ xấu xí. Nếu bạn thật sự muốn nhân số thập phân hoặc phân số, hãy dùng chiều Biết A & B, chiều này xử lý chúng chính xác.

Câu hỏi thường gặp

Bài toán kim cương là gì?: Bài toán kim cương là sơ đồ 4 ô hình thoi dùng khi phân tích đa thức. Tích $P$ ở trên, tổng $S$ ở dưới, hai thừa số $A$ và $B$ ở hai bên. Quan hệ là $P = A \times B$ và $S = A + B$ . Biết 2 ô, bạn suy ra 2 ô còn lại.
Biết hai thừa số thì giải thế nào?: Nhân hai số để lấy ô trên, cộng hai số để lấy ô dưới. Nếu $A = 6$ và $B = -4$ thì $P = 6 \times (-4) = -24$ và $S = 6 + (-4) = 2$ .
Biết tích và tổng thì tìm hai thừa số ra sao?: Hai thừa số $A$ và $B$ là nghiệm của $t^2 - S\,t + P = 0$ , nên $t = \tfrac{S \pm \sqrt{S^2 - 4P}}{2}$ . Với $P = -24$ , $S = 2$ : biệt thức là $2^2 - 4(-24) = 100$ , $\sqrt{100} = 10$ , cho $t = \tfrac{2 \pm 10}{2}$ là $6$ hoặc $-4$ .
Vì sao nhập tích và tổng thập phân lại không giải được?: Ở chiều Tích và Tổng, công cụ chỉ trả về thừa số nguyên, mà chúng chỉ tồn tại khi $S^2 - 4P$ là số chính phương. Tích hoặc tổng thập phân gần như không bao giờ cho cặp số nguyên đẹp, nên công cụ báo không có nghiệm. Muốn nhân số thập phân, hãy chuyển sang chiều Biết A và B.
Bài toán kim cương liên hệ gì với phân tích tam thức?: Tìm hai số có tích $P$ và tổng $S$ chính là bước phân tích $x^2 + Sx + P = (x + A)(x + B)$ . Ví dụ $P = -24$ , $S = 2$ cho $x^2 + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4)$ .
Mỗi góc của kim cương chứa gì?: Tích ở trên, tổng ở dưới, hai thừa số ở trái và phải. Nhân hai số hai bên ra ô trên; cộng chúng ra ô dưới.