Rút Gọn Phân Số

Cách dùng máy tính

Nhập tử số và mẫu số — ô số nguyên (whole) là tùy chọn, dùng khi bạn có hỗn số như 2 6/8. Máy tính tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử và mẫu, chia cả hai cho ƯCLN đó, rồi hiển thị phân số ở dạng tối giản. Nếu phân số sau khi rút gọn vẫn không thực sự (tử ≥ mẫu), máy còn chuyển tiếp sang dạng hỗn số.

Phân số âm, số 0, và kết quả là số nguyên (như 24/8 = 3) đều được xử lý đúng — phần các bước chi tiết bên dưới đáp án cho thấy rõ từng trường hợp được tính như thế nào.

Cách rút gọn phân số bằng ƯCLN

Mọi phép rút gọn đều theo hai bước cố định:

1. Tìm ƯCLN (ước chung lớn nhất, còn gọi là GCD) của tử số và mẫu số — số lớn nhất chia hết cả hai.
2. Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN. Kết quả vẫn là giá trị cũ, chỉ viết bằng số nhỏ hơn.

$\frac{a}{b} = \frac{a \div G}{b \div G}, \quad G = \gcd(a, b)$

Với 8/12: ƯCLN của 8 và 12 là 4, nên 8 ÷ 4 = 2 và 12 ÷ 4 = 3 — phân số tối giản là $\frac{2}{3}$. Nếu ƯCLN bằng 1 (như 3/4), phân số đã tối giản sẵn, không cần đổi gì thêm.

Vì sao chia cả tử và mẫu cho ƯCLN không làm đổi giá trị

Chia tử và mẫu cho cùng một số khác 0 tương đương với nhân cho $\frac{1}{1}$ (dưới một hình thức khác) — chỉ thay đổi cách viết, không thay đổi giá trị. $\frac{8}{12}$ và $\frac{2}{3}$ đều bằng đúng 0,666…, vì $\frac{8}{12} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{4} = \frac{2}{3} \times 1$.

Đó cũng là lý do vì sao phải dùng ƯCLN — ước chung lớn nhất — để chia: một ước chung nhỏ hơn sẽ khiến phân số mới rút gọn được một phần, còn một số không phải ước chung của cả hai sẽ làm đổi giá trị phân số.

Phân số không thực sự và hỗn số

Nếu tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số sau khi rút gọn, đó là phân số không thực sự (improper) — giá trị của nó từ 1 trở lên. Phép chia có dư sẽ tách nó thành phần nguyên $q$ (thương) và phần dư $r$ dưới dạng phân số thường:

$\frac{a}{b} = q\,\frac{r}{b}, \quad a = bq + r$

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 — 8/12

ƯCLN(8, 12) = 4. 8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3. Đáp án: $\frac{2}{3}$ (đã là phân số thường — không cần đổi hỗn số).

Ví dụ 2 — 45/10

ƯCLN(45, 10) = 5. 45 ÷ 5 = 9, 10 ÷ 5 = 2 → $\frac{9}{2}$. Vì 9 ≥ 2, đổi tiếp - 9 ÷ 2 = 4 dư 1. Đáp án: $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Ví dụ 3 — hỗn số 2 6/8

Đổi sang phân số không thực sự trước - $(2 \times 8) + 6 = 22$, được $\frac{22}{8}$. ƯCLN(22, 8) = 2 → $\frac{11}{4}$. Vì 11 ≥ 4 - 11 ÷ 4 = 2 dư 3. Đáp án: $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.

Ví dụ 4 — -8/12

ƯCLN(8, 12) = 4 (ƯCLN tính trên giá trị tuyệt đối). -8 ÷ 4 = -2, 12 ÷ 4 = 3. Đáp án: $-\frac{2}{3}$.

Bảng tham chiếu các phân số thường gặp

Lưu ý về độ chính xác

Mọi phép tính đều dùng số nguyên độ chính xác tùy ý (BigInt), không phải số thực dấu phẩy động — nên ƯCLN và phân số rút gọn luôn chính xác tuyệt đối, dù tử số hay mẫu số lớn đến đâu.